Fonction d'erreur
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Construction de la fonction d'erreur réelle.
Construction de la fonction d'erreur réelle.

En mathématiques, la fonction d'erreur (aussi appelée fonction d'erreur de Gauss) est une fonction utilisée en analyse. Cette fonction se note erf et fait partie des fonctions spéciales.

\operatorname{erf}(z) = \frac{2}{ \sqrt{\pi} }  \int_0^z e^{- \zeta^2 } d\zeta

La probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de grande importance donnant...) pour qu'une variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule,...) normale centrée réduite prenne une valeur dans l'intervalle [-z, z] est

\operatorname{erf}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right);

c'est la distribution normale.

Elle intervient, par exemple dans les solutions de l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines des...) de la chaleur (Dans le langage courant, les mots chaleur et température ont souvent un sens équivalent : Quelle chaleur !), quand les conditions aux bords sont données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) par la fonction de Heaviside (En mathématiques, la fonction de Heaviside (également fonction échelon, fonction marche ou, par abus de traduction, fonction d'étape), du nom de Oliver Heaviside, est une fonction discontinue...).

L'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et d'un opérateur que l'on appelle intégrateur...) ne peut être obtenue à partir d'une formule fermée mais par un développement en série entière intégré termes à termes. Il existe des tables donnant des valeurs des intégrales, comme fonctions de z.

Il arrive que la fonction plus générale En définie par :

E_n(z) = n! \int_0^z e^{-\zeta^n}d\zeta

soit utilisée et E2 est appelée erreur intégrale.

D'autres fonctions d'erreurs utilisées en analyse, notamment :

  • La fonction d'erreur complémentaire notée erfc et définie par :

\operatorname{erfc}\left( z \right) = 1 - \operatorname{erf}\left( z \right) =  \frac{2}{ \sqrt{\pi} }\int_z^{\infty}e^{-\zeta^2}d\zeta

  • La fonction ierfc, intégrale de la fonction d'erreur complémentaire erfc :

\operatorname{ierfc}\left( z \right) = \frac{e^{-z^2}}{\sqrt{\pi}} - z\cdot\operatorname{erfc}\left( z\right)

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