Loi de composition externe - Définition et Explications

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En mathématiques, une loi de composition externe dans un ensemble E à opérateurs (ou scalaires) dans S ( on dit aussi plus brièvement une loi externe de S sur E ) est une relation ternaire externe de S sur E qui est aussi une application.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...)

Suivant que S vient en premier ou en second lieu dans le produit cartésien (En mathématiques, le produit cartésien de deux ensembles X et Y, appelé...) qui sert d'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) de départ à la loi externe considérée, on distingue les lois externes à gauche et à droite. Ainsi :

  • une loi externe à gauche de S sur E est une application de S × E dans E ;
  • une loi externe à droite de S sur E est une application de E × S dans E .

Principales propriétés

Propriétés simples

Soit un ensemble E muni d'une loi externe " . " à scalaires dans un ensemble S. Nous considérerons le cas d'une loi à gauche (resp. à droite).

  • la loi " . " est exo-unifère à gauche (resp. exo-unifère à droite), ou plus simplement unifère ssi il existe un élément de S qui, composé par cette loi avec tout élément de E , redonne l'élément de E
ou :
- pour une relation à gauche :
\exists\ \epsilon \in S /\ \forall\ x \in E ,\ \epsilon . x = x \,
- et à droite :
\exists\ \epsilon \in S /\ \forall\ x \in E ,\ x . \epsilon = x \,
  • la loi " . " est absorbante à droite (resp. absorbante à gauche ), ou plus simplement absorbante ssi il existe un élément de E qui, composé par cette loi avec tout élément de S , se redonne lui-même
ou :
- pour une relation à gauche :
\exists\ a \in E /\ \forall\ \lambda \in S ,\ \lambda . a = a \,
- et à droite :
\exists\ a \in E /\ \forall\ \lambda \in S ,\ a . \lambda = a \,
  • la loi " . " est exo-absorbante à gauche (resp. exo-absorbante à droite), ou plus simplement exo-absorbante ssi il existe un élément de E et un élément de S tels que l'élément de E soit l'unique résultat de la composition de l'élément de S avec tout élément de E
ou :
- pour une relation à gauche :
\exists\ a \in E , \exists\ \omega \in S /\ \forall\ x \in E ,\ \omega . x = a \,
- et à droite :
\exists\ a \in E , \exists\ \omega \in S /\ \forall\ x \in E ,\ x . \omega = a \,
  • la loi " . " est régulière à gauche (resp. à droite ) ssi pour chaque élément de S , ses composés par cette loi avec les éléments de E sont tous distincts entre eux
ou :
- pour une relation à gauche :
\forall\ \lambda \in S , \forall\ ( x , y ) \in E^2 , [\ \lambda . x = \lambda . y  \ ] \Rightarrow ( x = y ) \,
- et à droite :
\forall\ \lambda \in S , \forall\ ( x , y ) \in E^2 , [\ x . \lambda = y . \lambda \ ] \Rightarrow ( x = y ) \,
  • la loi " . " est exo-régulière à droite (resp. à gauche ) ssi pour chaque élément de E, ses composés par cette loi avec les éléments de S sont tous distincts entre eux
ou :
- pour une relation à gauche :
\forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E , [\ \lambda . x = \mu . x \ ] \Rightarrow ( \lambda = \mu ) \,
- et à droite :
\forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E , [\ x . \lambda = x . \mu \ ] \Rightarrow ( \lambda = \mu ) \,
  • la loi " . " est régulière ssi elle est régulière d'un côté et exo-régulière de l'autre.

Propriétés relatives à une loi interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la...)

  • la loi " . " est exo-associative par rapport à une loi interne * \, " de S si tout composé par la loi " . " d'un scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les...) avec le composé par la loi " . " d'un autre scalaire et d'un élément de E est égal au composé de cet élément de E avec le composé des deux scalaires par la loi * \, "
ou :
- pour une relation à gauche :
\forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E ,\ \lambda . ( \mu . x ) = ( \lambda * \mu ) . x \,
- et à droite :
\forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E ,\ ( x . \mu ) . \lambda = x . ( \mu * \lambda ) \,
  • la loi " . " est distributive ( à gauche ( resp. à droite )) par rapport à une loi interne\bot \, " de E si tout composé par la loi " . " d'un scalaire avec le composé par la loi\bot \, " de deux éléments de E est égal au composé par la loi\bot \, " des deux composés par la loi " . " de ces éléments de E avec le scalaire précédent
ou :
- pour une relation à gauche :
\forall\ \lambda \in S , \forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ \lambda . ( x \bot y ) = ( \lambda . x ) \bot ( \lambda . y ) \,
- et à droite :
\forall\ \lambda \in S , \forall\ ( x , y ) \in E^2 ,\ ( x \bot y ) . \lambda = ( x . \lambda ) \bot ( y . \lambda ) \,
  • la loi " . " est exo-distributive ( à droite ( resp. à gauche )) par rapport à une loi interne\top \, " de S relativement à une autre loi interne\bot \, " de E si tout composé par la loi " . " d'un élément de E avec le composé par la loi\top \, " de deux scalaires est égal au composé par la loi\bot \, " des deux composés par la loi " . " de l'élément de E avec chaque scalaire
ou :
- pour une relation à gauche :
\forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E ,\ ( \lambda \top \mu ) . x = ( \lambda . x ) \bot ( \mu . x ) \,
- et à droite :
\forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E ,\ x . ( \lambda \top \mu ) = ( x . \lambda ) \bot ( x . \mu ) \,
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