Loi de composition externe - Définition
En mathématiques, une loi de composition externe dans un ensemble E à opérateurs (ou scalaires) dans S ( on dit aussi plus brièvement une loi externe de S sur E ) est une relation ternaire externe de S sur E qui est aussi une application.
Définition
Suivant que S vient en premier ou en second lieu dans le produit cartésien qui sert d'ensemble de départ à la loi externe considérée, on distingue les lois externes à gauche et à droite. Ainsi :
- une loi externe à gauche de S sur E est une application de S × E dans E ;
- une loi externe à droite de S sur E est une application de E × S dans E .
Principales propriétés
Propriétés simples
Soit un ensemble E muni d'une loi externe " . " à scalaires dans un ensemble S. Nous considérerons le cas d'une loi à gauche (resp. à droite).
- la loi " . " est exo-unifère à gauche (resp. exo-unifère à droite), ou plus simplement unifère ssi il existe un élément de S qui, composé par cette loi avec tout élément de E , redonne l'élément de E
- ou :
- - pour une relation à gauche :
-
- - et à droite :
-
- la loi " . " est absorbante à droite (resp. absorbante à gauche ), ou plus simplement absorbante ssi il existe un élément de E qui, composé par cette loi avec tout élément de S , se redonne lui-même
- ou :
- - pour une relation à gauche :
-
- - et à droite :
-
- la loi " . " est exo-absorbante à gauche (resp. exo-absorbante à droite), ou plus simplement exo-absorbante ssi il existe un élément de E et un élément de S tels que l'élément de E soit l'unique résultat de la composition de l'élément de S avec tout élément de E
- ou :
- - pour une relation à gauche :
-
- - et à droite :
-
- la loi " . " est régulière à gauche (resp. à droite ) ssi pour chaque élément de S , ses composés par cette loi avec les éléments de E sont tous distincts entre eux
- ou :
- - pour une relation à gauche :
-
![\forall\ \lambda \in S , \forall\ ( x , y ) \in E^2 , [\ \lambda . x = \lambda . y \ ] \Rightarrow ( x = y ) \,](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/7/7b0ce7979fa0e564fb65c51c4ec1c633_2c524064a5fe570a0f074fc3966bc355.png)
- - et à droite :
-
![\forall\ \lambda \in S , \forall\ ( x , y ) \in E^2 , [\ x . \lambda = y . \lambda \ ] \Rightarrow ( x = y ) \,](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/1/136aada947fa9c5bf48006266a89d2ce_f3efd3d40617eda8f709a5be5814c9cd.png)
![\forall\ \lambda \in S , \forall\ ( x , y ) \in E^2 , [\ \lambda . x = \lambda . y \ ] \Rightarrow ( x = y ) \,](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/7/7b0ce7979fa0e564fb65c51c4ec1c633_2c524064a5fe570a0f074fc3966bc355.png)
![\forall\ \lambda \in S , \forall\ ( x , y ) \in E^2 , [\ x . \lambda = y . \lambda \ ] \Rightarrow ( x = y ) \,](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/1/136aada947fa9c5bf48006266a89d2ce_f3efd3d40617eda8f709a5be5814c9cd.png)
- la loi " . " est exo-régulière à droite (resp. à gauche ) ssi pour chaque élément de E, ses composés par cette loi avec les éléments de S sont tous distincts entre eux
- ou :
- - pour une relation à gauche :
-
![\forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E , [\ \lambda . x = \mu . x \ ] \Rightarrow ( \lambda = \mu ) \,](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/1/10be09853fbba7e5ec0c31ac86e81ec5_7379f6fe6e720c524720c17a68de7f47.png)
- - et à droite :
-
![\forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E , [\ x . \lambda = x . \mu \ ] \Rightarrow ( \lambda = \mu ) \,](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/0/058bd03dd5e8a1d77dc38f589f101560_a1a02631196a3826ae9fe4fa6428c205.png)
![\forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E , [\ \lambda . x = \mu . x \ ] \Rightarrow ( \lambda = \mu ) \,](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/1/10be09853fbba7e5ec0c31ac86e81ec5_7379f6fe6e720c524720c17a68de7f47.png)
![\forall\ ( \lambda , \mu ) \in S^2 , \forall\ x \in E , [\ x . \lambda = x . \mu \ ] \Rightarrow ( \lambda = \mu ) \,](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/0/058bd03dd5e8a1d77dc38f589f101560_a1a02631196a3826ae9fe4fa6428c205.png)
- la loi " . " est régulière ssi elle est régulière d'un côté et exo-régulière de l'autre.
Propriétés relatives à une loi interne
- la loi " . " est exo-associative par rapport à une loi interne "
- ou :
- - pour une relation à gauche :
-
- - et à droite :
- la loi " . " est distributive ( à gauche ( resp. à droite )) par rapport à une loi interne "
- ou :
- - pour une relation à gauche :
- - et à droite :
-
- la loi " . " est exo-distributive ( à droite ( resp. à gauche )) par rapport à une loi interne "
- ou :
- - pour une relation à gauche :
-
- - et à droite :
-
