Plan propre
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Dans les mathématiques, un plan propre est un sous-espace invariant d'un espace vectoriel donné. Par analogie avec le terme vecteur propre pour un vecteur qui, lorsque opéré par un opérateur linéaire donne un autre vecteur qui est lui-même multiplié par un scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la base.), le terme plan propre (Dans les mathématiques, un plan propre est un sous-espace invariant d'un espace vectoriel donné. Par analogie avec le terme vecteur propre pour un vecteur qui, lorsque opéré par un opérateur linéaire donne un autre...) peut être utilisé pour parler d'un plan bi-dimensionnel (un 2-plan), tel que le résultat de l'application d'un opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) linéaire sur un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet...) dans le 2-plan donne toujours un autre vecteur dans le même 2-plan.

Un cas particulier qui a été étudié est celui où l'opérateur linéaire est une isométrie (En géométrie, une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs. Une isométrie est donc un cas particulier de similitude.) M de l'hypersphère (écrit S3) représenté dans l'espace euclidien (Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un tel espace, on peut traiter des questions de longueur ou d'orthogonalité. En...) à quatre dimensions :

M \; [  \mathbf{s} \;  \mathbf{t} ] \; = \; [ \mathbf{s} \; \mathbf{t} ] \Lambda_\theta

s et t sont des vecteurs quadri-dimensionnels en colonne et Λθ est une rotation propre à deux dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) à l'intérieur du plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle d'un couteau, munie de deux poignées, à chaque...) propre.

Dans le problème classique du vecteur propre (En mathématiques, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à...), il existe la liberté de multiplier un vecteur propre par un scalaire arbitraire ; dans le cas actuel, il existe la liberté de multiplier par un rotation non-zéro arbitraire.

Cette situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un espace par rapport à son environnement proche ou non. Il...) est potentiellement d'intérêt physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la...) dans le cas où la forme de l'Univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) soit une 3-variété multi-connexe, puisque trouver les angles des rotations propres d'une isométrie candidate pour le lentillement topologique est une manière de falsifier ce genre d'hypothèse.

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