B-spline

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Introduction

En mathématiques, une B-spline est une combinaison linéaire de splines non-négatives à support compact minimal. Les splines sont la généralisation des courbes de Bézier, elles peuvent être à leur tour généralisées par les NURBS.

Définition

Étant donné m+1 nœuds t_i dans [0,1] avec

t_{0} < t_{1} < \dots < t_{m}

une courbe spline de degré n est une courbe paramétrique

S : [0, 1] \to R^{2}

composée de fonctions B-splines de degré n

$S (t) = \sum_{i = 0}^{m - 1} P i b i, n (t), t \in [0, 1]$ .

Les P_i sont appelés points de contrôle.

Les m+1 fonctions B-splines de degré n sont définies par récurrence

b_{j, 0} (t) := {1 si t_{j} ⩽ t < t_{j + 1} 0 sinon

b_{j, n} (t) := \frac{t - t _{j}}{t _{j + n} - t _{j}} b_{j, n - 1} (t) + \frac{t _{j + n + 1} - t}{t _{j + n + 1} - t _{j + 1}} b_{j + 1, n - 1} (t) .

Quand les nœuds sont équidistants, les B-splines sont dites uniformes.

Propriétés

La forme des fonctions de base est déterminée par la position des nœuds.

La courbe est à l'intérieur de l'enveloppe convexe des points de contrôle.

Une B-spline de degré n

b_i,n(t)

est non nulle dans l'intervalle [t_i, t_i+n+1] :

b_{i, n} (t) = {> 0 si t_{i} ⩽ t < t_{i + n + 1} 0 sinon

En d'autres termes, déplacer un point de contrôle ne modifie que localement l'allure de la courbe.