B-spline - Définition
En mathématiques, une B-spline est une combinaison linéaire de splines non-négatives à support compact minimal. Les splines sont la généralisation des courbes de Bézier, elles peuvent être à leur tour généralisées par les NURBS.
Définition
Étant donné m+1 nœuds ti dans [0,1] avec
une courbe spline de degré n est une courbe paramétrique
![\mathbf{S}:[0,1] \to \mathbb{R}^2](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/5/596c680504f3192b3f688f8ccbd168a8_bdf625d27af915478ea07668c7bc03da.png)
composée de fonctions B-splines de degré n
-
![\mathbf{S}(t)= \sum_{i=0}^{m-1} \mathbf{P}_{i} b_{i,n}(t) \mbox{ , } t \in [0,1]](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/6/628b57766d084052d2828f4935a491de_3702092148bf748f64e0f322aca8327c.png)
![\mathbf{S}(t)= \sum_{i=0}^{m-1} \mathbf{P}_{i} b_{i,n}(t) \mbox{ , } t \in [0,1]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/6/628b57766d084052d2828f4935a491de_3702092148bf748f64e0f322aca8327c.png)
Les Pi sont appelés points de contrôle.
Les m+1 fonctions B-splines de degré n sont définies par récurrence
Quand les nœuds sont équidistants, les B-splines sont dites uniformes.
Propriétés
La forme des fonctions de base est déterminée par la position des nœuds.
La courbe est à l'intérieur de l'enveloppe convexe des points de contrôle.
Une B-spline de degré n
- bi,n(t)
est non nulle dans l'intervalle [ti, ti+n+1] :
-
En d'autres termes, déplacer un point de contrôle ne modifie que localement l'allure de la courbe.
