Spline
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Dans le domaine mathématique de l'analyse numérique, une spline est une fonction définie par morceaux par des polynômes.

Dans les problèmes d'interpolation, la méthode des splines est souvent préférée à l'interpolation polynomiale, car on obtient des résultats similaires en se servant de polynômes ayant des degrés inférieurs, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) en évitant le phénomène de Runge.

Dans le domaine du design (Le design (la stylique en français) est un domaine visant à la création d'objets, d'environnements ou d'œuvres graphiques, à la fois fonctionnels, esthétiques...), en construction automobile (Une automobile, ou voiture, est un véhicule terrestre se propulsant lui-même à l'aide d'un moteur. Ce véhicule est conçu pour le transport terrestre de personnes ou de marchandises, elle...) par exemple, les splines sont utilisées pour approcher des contours complexes. Leur simplicité d'implémentation (Le mot implantation peut avoir plusieurs significations :) les rend très populaires et elles sont fréquemment utilisées dans les logiciels de dessin.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.)

Étant donnés k points ti appelés nœuds dans un intervalle [a,b] avec

a=t_0 < t_1 < \ldots < t_{k-2} < t_{k-1} = b

La courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) S

S:[a,b] \to \mathbb{R}

est appelée spline (Dans le domaine mathématique de l'analyse numérique, une spline est une fonction définie par morceaux par des polynômes.) de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) n si

S \in \mathrm{C}^{n-1}(a,b)

et sa restriction sur chaque sous-intervalle

S_{[t_i,t_{i+1}]} \in P_n \mbox{ , } i = 0,\ldots k-2Pn est l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme...) des polynômes de degré n.

En d'autres termes, sur chaque sous-intervalle

[t_i,t_{i+1}] \mbox{ , } i = 0,\ldots k-2

S est un polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une valeur approchée de...) de degré n.

Les (ti, S(ti)) sont appelés points de contrôle (Le mot contrôle peut avoir plusieurs sens. Il peut être employé comme synonyme d'examen, de vérification et de maîtrise.).

Exemple

La fonction spline la plus simple est de degré 1, ce qui correspond à un polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, formée...).

La plus couramment utilisée est la spline de degré 3 qui vérifie la propriété suivante :

S''(a) = S''(b) = 0

En dehors de l'intervalle, la courbe est une ligne droite tout en conservant le lissage.

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