Courbe algébrique - Définition

Introduction

En géométrie algébrique, une courbe est une variété algébrique (ou un schéma de type fini) sur un corps, dont les composantes irréductibles sont de dimension 1. En dehors des variétés algébriques de dimension 0 qui se réduisent aux algèbres finies sur un corps, les courbes sont les premières variétés algébriques non triviales.

Définition

Sous sa forme la plus générale, une courbe algébrique sur un corps k est une variété algébrique de dimension 1 sur k, séparée pour éviter des pathologies. En considérant les composantes irréductibles munies de la structure réduite, on se ramène aux courbes intègres. Par compactification et normalisation, on se ramène aux courbes projectives régulières, ce qui est la situation le plus couramment abordée.

Exemples.

• La droite affine dont les points rationnels correspondent à l'ensemble k. C'est une courbe algébrique affine.

• La droite projective dont les points rationnels correspondent à la droite projective ordinaire , c'est-à-dire l'ensemble des droites de l'espace vectoriel k². C'est la courbe projective la plus simple.

• Courbe plane affine: c'est une sous-variété fermée du plan affine définie par un idéal engendré par un polynôme non-constant . Ses points rationnels sont

.

C'est en quelque sorte la forme historique des courbes algébriques au moins lorsque le corps de base est .

• Courbe plane projective: c'est une sous-variété fermée du plan projectif définie par un idéal engendré par un polynôme homogène de degré strictement positif . Ses points rationnels sont

.

Les courbes elliptiques et les courbes de Fermat xⁿ + yⁿ − zⁿ = 0 sont des courbes projectives planes.

Dans toute la suite, sauf dans la dernière section, on se placera dans le cadre des courbes projectives irréductibles et lisses C sur un corps k. On sait que cela implique que C est régulière. Pour simplifier on suppose de plus que O_C(C) = k (donc C reste irréductible sur la clôture algébrique de k).

Diviseurs

Un diviseur sur C est une somme (formelle) finie

à coefficients a_x entiers, indexée par des points (fermés) x de C. Les a_x sont tous nuls sauf pour un nombre fini d'entre eux. Le coefficient a_x se note aussi v_x(D). C'est la valuation de D en x. L'ensemble des diviseurs forment un groupe abélien libre Z¹(C) dont une base est constituée des classes [x], . Un diviseur D est dit effectif si les coefficients qui interviennent a_x sont tous positifs ou nuls.

On définit le degré de D par

où k(x) est le corps résiduel en x_i, extension finie de k par le théorème des zéros de Hilbert. L'application degré est un morphisme de groupes . Le noyau de ce morphisme est donc un groupe.

Il y a un type particulièrement important de diviseurs, les diviseurs principaux. Il s'agit des diviseurs (f) associés aux fonctions rationnelles non nulles . Par définition,

où ord_x(f) est l'ordre d'annulation de f en x si f est régulière en x, et c'est l'opposé de son ordre de pôle sinon.

On montre que tout diviseur principal est de degré 0. L'ensemble des diviseurs principaux forment un sous-groupe du groupe . Le quotient Pic⁰(C) de par les diviseurs principaux s'injecte dans J(k), où J est la jacobienne de X. C'est un isomorphisme si k est algébriquement clos ou si C a un point rationnel.

On dit que deux diviseurs sur C sont linéairement équivalents s'ils diffèrent par un diviseur principal.

Si D est un diviseur, on lui associe un faisceau inversible O_C(D) sur C de la manière suivante: pour tout ouvert affine U de C, O_C(D)(U) est égal à l'union de 0 avec l'ensemble des fonctions rationnelles non-nulles f vérifiant pour tout .

Inversement, tout faisceau inversible est isomorphe à un O_C(D), D étant unique à équivalence linéaire près.

• Diviseur canonique Le faisceau des formes différentielles Ω_{C / k} sur C est un faisceau inversible. C'est le fibré cotangent sur C. Il lui correspond donc un diviseur K, unique à équivalence linéaire près. Un tel diviseur est appelé un diviseur canonique de C.