Propriétés des limites
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Voici une liste des propriétés des limites en calcul différentiel.

Propriété de la fonction constante

\lim_{x \to a}b = b

Approche graphique

Le graphique de la fonction f définie par f(x) = b est une droite d'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité....) y = b, la limite de la fonction est l'ordonnée à l'origine.

Propriété de la fonction f définie par f(x) = x

\lim_{x \to a}x = a

Approche graphique

Le graphique de cette fonction est une droite passant par l'origine, d'équation y = x. La limite lorsque x se rapproche de a, correspond à l'ordonnée du point (Graphie) d'abscisse a sur la droite, cette limite vaut donc a.

Propriété de la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) par une constante

Si f admet en a une limite finie et si d est une constante réelle alors la fonction d \times f admet une limite en a telle que:

\lim_{x \to a}[d\times f(x)] = d\times \lim_{x \to a}f(x)

La limite d'une fonction multipliée par une constante est égale à la constante multipliée par la limite de la fonction.

Règle de la somme

Si les fonctions f et g admettent chacune une limite finie en a, alors la fonction f + g admet elle aussi une limite en a telle que:

\lim_{x \to a}[f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)

La limite d'une somme est égale à la somme des limites.

Règle de la différence

Si les fonctions f et g admettent chacune une limite finie en a, alors la fonction fg admet elle aussi une limite en a telle que:

\lim_{x \to a}[f(x) - g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x)

La limite d'une différence est égale à la différence des limites.

Règle du produit

Si les fonctions f et g admettent chacune une limite finie en a, alors la fonction f \times g admet elle aussi une limite en a telle que:

\lim_{x \to a}[f(x) g(x)] = [\lim_{x \to a} f(x)][\lim_{x \to a} g(x)]

La limite d'un produit est égal au produit des limites.

Règle du quotient

Si la fonction f admet une limite finie en a et si la fonction g admet une limite finie non nulle en a , alors la fonction \frac {f}{g} admet elle aussi une limite en a telle que:

\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}

La limite d'un quotient est égal au quotient des limites (si le dénominateur n'est pas nul).

Règle des puissances

Si f admet en a une limite finie alors la fonction x \rightarrow [f(x)]^n admet aussi une limite en a telle que: \lim_{x \to a}[f(x)]^n = [\lim_{x \to a}f(x)]^n

La limite d'une fonction élevée à la puissance n est égale à la limite de la fonction, élevée à la puissance n.

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