Arrangement (mathématiques)
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La notion d'arrangement est utilisée en probabilités, et notamment pour les dénombrements en analyse combinatoire.

Considérons un ensemble formé de n éléments. On prend k éléments (k < n) et on en constitue une liste ordonnée sans répétition possible, c'est-à-dire dans laquelle l'ordre des éléments est pris en compte (si l'on permute deux éléments de la liste, on a une liste différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application définie à l'aide de la trace, dans l'anneau des entiers d'un...), et un élément ne peut être présent qu'une seule fois). Une telle liste ordonnée est appelée un arrangement (La notion d'arrangement est utilisée en probabilités, et notamment pour les dénombrements en analyse combinatoire.). Le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) d'arrangements que l'on peut faire est noté A^k_n et vaut :

A^k_n = n (n-1)(n-2) ... (n-k+1)

Cette formule peut se comprendre à l'aide d'un arbre des choix successifs, puisque le premier élément est choisi parmi n, le second parmi (n-1) ... et le dernier parmi (n-k+1). Avec la notation factorielle (En mathématiques, la factorielle d'un entier naturel n, notée n!, ce qui se lit soit « factorielle de n » soit « factorielle n », est le produit des nombres entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n.), où n! = 1×2×...n, cette formule devient

A^k_n = \frac{n!}{(n-k)!}

Akn est en fait le nombre d'injections que l'on peut faire d'un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude...) à k éléments vers un ensemble à n éléments. Le nombre d'arrangements est lié au coefficient binomial (Les coefficients binomiaux interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques : développement du binôme, dénombrement, développement...) {n \choose k} (anciennement C^k_n) par :

{n \choose k} = \frac{A^k_n}{k!}

Exemples d'arrangements :

  • une phrase sans répétition de mot est un arrangement du dictionnaire ;
  • une association forme son bureau (président, trésorier, secrétaire) à partir des membres de l'association ; le bureau est un arrangement de l'association ;
  • le podium d'une course (Course : Ce mot a plusieurs sens, ayant tous un rapport avec le mouvement.) est un arrangement de l'ensemble des participants.
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