Lemme des bergers
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Le lemme des bergers est une propriété triviale utilisée en mathématiques, notamment en analyse combinatoire.

Il peut s'énoncer au niveau élémentaire par :

  • Si un ensemble E possède une partition en p sous-ensembles contenant chacun r éléments, alors E contient p×r éléments.

Par exemple, un jeu de bridge possède une partition en quatre couleurs comportant chacune treize cartes, le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) total ( Total est la qualité de ce qui est complet, sans exception. D'un point de vue comptable, un total est le résultat d'une addition, c'est-à-dire une somme....) de cartes est donc égal à cinquante-deux.

On utilise fréquemment ce lemme dans l'autre sens :

  • Si on connaît le nombre d'éléments de E, et si E admet une partition en p sous-ensembles à r élements (un des nombres p et r étant connu mais pas l'autre), on en déduit celui des nombres p et r qu'on ne connaissait pas.

L'étymologie du surnom de cette propriété vient de la forme imagée de la réciproque : Quand les bergers veulent compter leurs moutons, ils comptent les pattes et divisent par quatre.

Une version plus abstraite du théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit...) s'énonce comme suit :

  • Étant donnés deux ensembles finis, X et Y, et une application surjective f : X → Y telle que tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) élément de Y ait exactement n antécédents dans X, alors on a  Card(X) = n×Card(Y)
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