Nombre de Bell
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Les nombres de Bell, qui portent le nom de Eric Temple Bell, se rencontrent souvent en combinatoire. Ces nombres forment une suite d'entiers qui commence ainsi:

B_0=1,\quad B_1=1,\quad B_2=2,\quad B_3=5,\quad B_4=15,\quad B_5=52,\quad B_6=203,\quad\dots

(suite A000110 dans l'encyclopédie électronique des suites entières)

En général, Bn est le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de partitions d'un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut...) de cardinal n. (B0 est égal à 1 parce qu'il y a exactement une partition de l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.). Une partition d'un ensemble E est par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) un ensemble de parties non vides et disjointes deux à deux, dont la réunion (La Réunion est une île française du sud-ouest de l'océan Indien située dans l'archipel des Mascareignes à environ 700...) est égale à l'ensemble E.) Chaque partie d'une partition de l'ensemble vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) est une partie de l'ensemble vide donc est vide (cela est évident), et leur réunion est égale à l'ensemble vide. Donc, le singleton ensemble vide est la seule partition de l'ensemble vide.

Les nombres de Bell (Bell Aircraft Corporation est un constructeur aéronautique américain fondé le 10 juillet 1935. Après avoir construit des avions de combat durant la Seconde Guerre mondiale, mais aussi le premier avion à avoir...) satisfont la formule de récurrence :

B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}{C_n^k B_k}.

(où C_n^k est un coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace...) binomial)

Ils satisfont aussi à la formule de Dobinski :

B_n=\frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}

qui est le moment d'ordre n d'une loi de Poisson (En statistique, la loi de Poisson de paramètre λ, ou loi des événements rares, correspond au modèle suivant:) de paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) 1.

Ils satisfont également à la congruence de Touchard : si p est un nombre premier (Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs (qui sont alors 1 et lui-même). Cette définition exclut 1, qui n'a qu'un seul diviseur entier positif. Par opposition,...) quelconque alors

B_{p+n}\equiv B_n+B_{n+1}\ (p).

(relation de congruence modulo ( En arithmétique modulaire, on parle de nombres congrus modulo n Le terme modulo peut aussi être associé à d'autres formes de congruence En informatique, le modulo (informatique) est une fonction...) p)

Chaque nombre de Bell (Les nombres de Bell, qui portent le nom de Eric Temple Bell, se rencontrent souvent en combinatoire. Ces nombres forment une suite d'entiers qui...) est une somme des nombres de Stirling de deuxième espèce

B_n=\sum_{k=1}^n S (n, k).

La série génératrice exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il existe plusieurs...) des nombres de Bell est

e^{(e^x-1)}=1+x+2 \frac{x^2}{2!}+5 \frac{x^3}{3!} + 15 \frac{x^4}{4!} + \dots
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