Loi de Poisson - Définition et Explications

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Introduction

Poisson

Plot  of the Poisson PMF
L'axe horizontal est l'indice k. La fonction est seulement définie pour les valeurs entières de k.

Plot  of the Poisson CDF
L'axe horizontal (Horizontal est une orientation parallèle à l'horizon, et perpendiculaire à la...) est l'indice k. La fonction de répartition (En théorie des probabilités ou en statistiques, la fonction de répartition d'une...) est seulement discontinue pour les valeurs entières de k.

Paramètres \lambda \in ]0,\infty[
Support k \in \{0,1,2,\ldots\}
Densité de probabilité (En théorie des probabilités ou en statistiques, une densité de probabilité est...) (fonction de masse) \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\!
Fonction de répartition \frac{\Gamma(\lfloor k+1\rfloor,  \lambda)}{\lfloor k\rfloor !}\!\text{ pour}k\ge 0

(où Γ(x,y) est la Fonction gamma (La fonction gamma est, en mathématiques, une fonction complexe.) incomplète)

Espérance \lambda\,
Médiane (Le terme de médiane, du latin medius, qui est au milieu, possède plusieurs acceptations en...) (centre) \text{environ }\lfloor\lambda+1/3-0.02/\lambda\rfloor
Mode \lfloor\lambda\rfloor et λ − 1 si λ est un entier
Variance ( En statistique et en probabilité, variance En thermodynamique, variance ) \lambda\,
Asymétrie (L'asymétrie est l’absence de symétrie, ou son inverse. Dans la nature, les crabes...) (statistique) \lambda^{-1/2}\,
Kurtosis
(non-normalisé)
\lambda^{-1}\,
Entropie (En thermodynamique, l'entropie est une fonction d'état introduite en 1865 par Rudolf Clausius...) \lambda[1\!-\!\log(\lambda)]\!+\!e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty  \frac{\lambda^k\log(k!)}{k!}.

Pour λ grand :

\scriptstyle\frac{1}{2}\log(2 \pi e  \lambda) -  \frac{1}{12 \lambda} -  \frac{1}{24 \lambda^2} - \frac{19}{360 \lambda^3} +  O\left(\frac{1}{\lambda^4}\right)

Fonction génératrice (En mathématiques, la fonction génératrice de la suite (an) est la série formelle définie par) des moments \exp(\lambda (e^t-1))\,
Fonction caractéristique (On rencontre des fonctions caractéristiques dans plusieurs domaines :) \exp(\lambda (e^{it}-1))\,

En théorie des probabilités (La théorie des probabilités est l'étude mathématique des phénomènes...) et en statistiques, la loi de Poisson est une loi de probabilité (En théorie des probabilités et en statistique, une loi de probabilité décrit...) discrète qui décrit le comportement du nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) d'évènements se produisant dans un laps de temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...) fixé, si ces évènements se produisent avec une fréquence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un...) moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de...) connue et indépendamment du temps écoulé depuis l'évènement précédent. La loi de Poisson (Dans la classification classique, les poissons sont des animaux vertébrés aquatiques...) est également pertinente pour décrire le nombre d'évènements dans d'autres types d'intervalles, spatiaux plutôt que temporels, comme des segments, surfaces ou volumes.

La loi de Poisson a été introduite en 1838 par Siméon-Denis Poisson (1781–1840), dans son ouvrage Recherches sur la probabilité des jugements en matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses...) criminelle et en matière civile [1]. Le sujet principal de cet ouvrage consiste en certaines variables aléatoires N qui dénombrent, entre autres choses, le nombre d'occurrences (parfois appelées “arrivées”) qui prennent place pendant un laps de temps de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...).

Si le nombre moyen d'occurrences dans cet intervalle est λ, alors la probabilité qu'il existe exactement k occurrences (k étant un entier naturel (En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif (ou nul) permettant fondamentalement...), k = 0, 1, 2, ...) est

p(k) =  P(X = k)= \mathrm{e}^{-\lambda}\frac{\lambda ^k}{k!}\,

  • e est la base de l'exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus...) (2,718...)
  • k! est la factorielle (En mathématiques, la factorielle d'un entier naturel n, notée n!, ce qui se lit soit...) de k
  • λ est un nombre réel (En mathématiques, un nombre réel est un objet construit à partir des nombres...) strictement positif.

On dit alors que X suit la loi de Poisson de paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte...) λ.

Par exemple, si un certain type d'évènements se produit en moyenne 4 fois par minute ( Forme première d'un document : Droit : une minute est l'original d'un...), pour étudier le nombre d'évènements se produisant dans un laps de temps de 10 minutes, on choisit comme modèle une loi de Poisson de paramètre λ = 10× 4 = 40.

Calcul de p(k)

Ce calcul peut se faire de manière déductive en travaillant sur une loi binomiale (En mathématiques, une loi binomiale de paramètres n et p est une loi de probabilité...) de paramètres (T; λ/T). Pour T grand, on démontre que la loi binomiale converge vers la loi de Poisson.

Il peut aussi se faire de manière inductive en étudiant sur l'intervalle [0; T] les fonctions Fk(t) = probabilité que l'événement se produise k fois sur l'intervalle de temps [0 ; t]. En utilisant la récurrence et du calcul différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de...), on parvient à retrouver les formules précédentes.

Domaine d'application

Le domaine d'application de la loi de Poisson a été longtemps limité à celui des événements rares comme les suicides d'enfants, les arrivées de bateaux dans un port ou les accidents dus aux coups de pied de cheval (Le cheval (Equus ferus caballus ou equus caballus) est un grand mammifère herbivore et...) dans les armées (étude de Ladislaus Bortkiewicz).

Mais depuis quelques décennies son champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) d'application s'est considérablement élargi. Actuellement, on l'utilise beaucoup dans les télécommunications (Les télécommunications sont aujourd’hui définies comme la transmission à distance...) (pour compter le nombre de communications dans un intervalle de temps donné), le contrôle (Le mot contrôle peut avoir plusieurs sens. Il peut être employé comme synonyme d'examen, de...) de qualité statistique (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle...), la description de certains phénomènes liés à la désintégration radioactive (la désintégration des noyaux radioactifs suivant, par ailleurs, une loi exponentielle (Une loi exponentielle correspond au modèle suivant:) de paramètre noté aussi lambda), la biologie (La biologie, appelée couramment la « bio », est la science du vivant....) (mutations), la météorologie (La météorologie a pour objet l'étude des phénomènes atmosphériques...), la finance pour modéliser la probabilité de défaut d'un crédit…

Lien avec la loi de Bernoulli (En mathématiques, la distribution de Bernoulli ou loi de Bernoulli, du nom du...)

Le décompte des évènements rares se fait souvent au travers d'une somme de variables de Bernoulli, la rareté des évènements se traduisant par le fait que les paramètres de ces variables de Bernoulli sont petits (ainsi, la probabilité que chaque évènement survienne est faible). Le lien entre la loi de Poisson et les évènements rares peut alors s'énoncer ainsi :

Paradigme de Poisson —  La somme Sn d'un grand nombre de variables de Bernoulli indépendantes de petit paramètre suit approximativement la loi de Poisson de paramètre \scriptstyle\ \mathbb{E}[S_n]. \

L'inégalité de Le Cam précise le paradigme de Poisson : soit \scriptstyle\ X_{1,n}, X_{2,n},\dots, X_{a_n,n}\ un tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employé :) de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes, avec paramètres respectifs \scriptstyle\ p_{k,n}.\ On note

S_n=\sum_{k=1}^{a_n}\,X_{k,n}\quad\text{et}\quad\lambda_n\ =\ \mathbb{E}[S_n]=\sum_{k=1}^{a_n}\,p_{k,n}.\

Inégalité de Le Cam — Pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) A d'entiers naturels,

\left|\mathbb{P}\left(S_n\in A\right)-\sum_{k\in A}\,\frac{\lambda_n^k\,e^{-\lambda_n}}{k!}\right|\ \le\ \sum_{k=1}^{a_n}\,p_{k,n}^2.

En particulier, si les deux conditions suivantes sont réunies :

  • \lim_n \lambda_n\,=\,\lambda>0,\
  • \lim_n \sum_{k=1}^{a_n}\,p_{k,n}^2\,=\,0,\

alors Sn converge en loi vers la loi de Poisson de paramètre λ.

Dans l'énoncé du paradigme de Poisson, on fait deux hypothèses (vagues) sur les termes d'une somme Sn de variables de Bernoulli :

  • les paramètres des variables de Bernoulli sont petits ; or les deux conditions ci-dessus entrainent que
\lim_n \max_{1\le k\le a_n}\,p_{k,n}\,=\,0,\
  • il y a un grands nombre de termes ; or les deux conditions ci-dessus entrainent que
\lim_n a_n\,=\,+\infty.\
Remarques  :
  • Ce paradigme reste pertinent, dans certaines conditions, si l'on relaxe l'hypothèse d' indépendance.
    • Un exemple frappant est le nombre de points fixes d'une permutation (En mathématiques, la notion de permutation exprime l'idée de réarrangement d'objets...) tirée au hasard (Dans le langage ordinaire, le mot hasard est utilisé pour exprimer un manque efficient, sinon...).
    • Un autre exemple est le nombre de points isolés du graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) aléatoire, dont la convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) vers la loi de Poisson a permis à Erdös et Rényi de démontrer, en 1960, le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) double-exponentiel.
  • Le cas particulier an=n, pk,n=λ/n, λn, de l'inégalité de Le Cam, précise la rapidité de convergence de la loi binomiale de paramètres n et λ/n vers la loi de Poisson de paramètre λ.
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