Inégalité de Hölder
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En analyse, l’inégalité de Hölder, du nom de Otto Hölder, est une inégalité fondamentale relative aux espaces Lp : soit S un espace mesuré, soient 1 ≤ p, q ≤ ∞ avec 1/p + 1/q = 1, soit f une fonction de Lp(S) et g dans Lq(S). Alors fg appartient à L1(S) et

\|fg\|_1 \le \|f\|_p \|g\|_q.

En considérant S comme l’ensemble {1,...,n} avec la mesure de dénombrement, nous obtenons un cas particulier de l’inégalité :

\sum_{k=1}^n |x_k y_k| \leq \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \right)^{1/q}

valable pour tous réels (ou nombres complexes) x1,...,xn, y1,...,yn.

En considérant S comme l’ensemble des entiers naturels avec la mesure de dénombrement, nous obtenons une inégalité similaire pour les séries.

Pour p = q = 2, nous obtenons l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

L’inégalité de Hölder est utilisée pour démontrer l' inégalité triangulaire dans l’espace Lp, parfois appelée inégalité de Minkowski et aussi pour établir que Lp est le dual de Lq si p \neq 1 et p \neq \infty.

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