Objets fractals, une initiation au concept et à ses applications
Publié par Publication le 27/06/2008 à 23:08
La nature nous offre bien d'autres exemples de structures qui se reproduisent sur une vaste gamme d'échelle. Examinons la disposition du bassin du fleuve Amazone (ill.4a). Si l'on imagine qu'on le remonte à partir de son embouchure, il se ramifie en ses affluents. Sur une photographie aérienne (La photographie aérienne est un domaine très vaste tant sur le plan de la variété des documents que des techniques employées.) à grande échelle (La grande échelle, aussi appelée échelle aérienne ou auto échelle, est un véhicule utilisé par les sapeurs-pompiers, et qui emporte une échelle escamotable de grande hauteur....), on distingue le fleuve (En hydrographie francophone, un fleuve est un cours d'eau qui se jette dans la mer ou dans l'océan – ou, exceptionnellement, dans un désert, comme pour l'Okavango....) et ses affluents, mais les petits ruisseaux ne sont pas visibles. En augmentant le grossissement, les affluents se révèlent eux aussi ramifiés par les ruisseaux. En grossissant encore, les ruisseaux sont visibles avec leurs ramifications en ruisselets. On a donc le même type de structure que pour la fougère, mais à une échelle beaucoup plus grande puisque le bassin couvre des milliers de kilomètres (Le mètre (symbole m, du grec metron, mesure) est l'unité de base de longueur du Système international. Il est défini comme la distance parcourue par la lumière dans...).

Or, on peut constater que le même schéma de ramification se produit pour des rivières bien plus petites, dont le bassin couvre seulement quelques kilomètres (ill.4b). Et on peut prolonger le raisonnement à des échelles bien plus petites encore. Car les ruisselets sont alimentés par des filets d'eau (L’eau est un composé chimique ubiquitaire sur la Terre, essentiel pour tous les organismes vivants connus.), qui existent peut-être seulement lors des averses et on peut constater le tracé tortueux et ramifié de l'eau qui dévale entre les grains de terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse croissantes. C'est la plus grande et la plus...).

a b
ill.4 - Les réseaux fluviaux ont la même forme arborescente,
qu'on les observe à l'échelle de milliers de kilomètres (a: réseau (Un réseau informatique est un ensemble d'équipements reliés entre eux pour échanger des informations. Par analogie avec un filet (un réseau est un « petit rets », c'est-à-dire un petit filet), on appelle nœud (node)...) de l'Amazone)
ou à celle de quelques kilomètres (b: réseau du Sabino en Arizona)
d'après C. Allègre, Sciences et Vie (La vie est le nom donné :), 1995

Cet exemple met en avant un caractère essentiel de ces images. Les fractales ont la même apparence quelle que soit l'échelle d'observation (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et d’étude...). Une photographie de l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est défini par les relations...) ne permet donc pas de deviner à quelle échelle elle a été prise. Bien sûr, pour comprendre ce phénomène, il faut garder à l'esprit qu'on ne voit pas tous les détails de l'image parce que notre vision est limitée en résolution. Pour les voir, nous devons grossir l'image et réduire l'étendue du champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) d'observation.

Ces images issues de la nature ne se révèlent identiques pour toutes les échelles que parce que l'on néglige certains aspects. La similitude des images des bassins fluviaux à différentes échelles n'est pas parfaite. Dans notre description, nous n'avons tenu compte que de l'organisation (Une organisation est) du réseau, des liens et situations relatives des branches ou affluents. Nous n'avons pas considéré la matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide, l'état liquide, l'état gazeux. La matière...) dont est constitué le réseau, à savoir l'eau, avec son mouvement, sa couleur (La couleur est la perception subjective qu'a l'œil d'une ou plusieurs fréquences d'ondes lumineuses, avec une (ou des) amplitude(s) donnée(s).), etc., pas plus que les rives faites de terre, de rochers et de végétaux. La modélisation d'objets réels par une structure fractale (On nomme fractale ou fractal (nom masculin moins usité), une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques. Le terme « fractale » est...) mathématique ne peut donc être qu'approchée. Elle laisse de côté certains aspects de la réalité. Mais elle en décrit étonnamment bien l'ossature.
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