Quadrilatère - Définition et Explications

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Introduction

QUADRILATÈRES
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concave convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le...) croisé
Concave quadrilateral.png Convex quadrilateral.png Cross-quadrilateral.png
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Cyclic quadrilateral.png Trapezium (geometry).png Tangent quadrilateral.png
à cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale...) circonscrit trapèze tangentiel
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Isoceles trapezium.png
trapèze isocèle
Parallelogram.png
parallélogramme
Kite.png
cerf-volant (Le cerf-volant, au pluriel des cerfs-volants, est un engin volant plus lourd que l'air,...)
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Rectangle (geometry).png
rectangle
Rhombus (geometry).png
losange
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Square (geometry).png
carré

En géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle...), un quadrilatère (parfois appelé tétrapleure ou tétragone) est un polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est...) à quatre côtés. Les trapèzes, parallélogrammes, losanges, rectangles, carrés et cerfs-volant sont des quadrilatères particuliers.

Étymologie

Le mot quadrilatère provient du latin : quatuor, quatre et latus, lateris, côté. Le mot équivalent d'origine grecque est tétrapleure (de τέττερα / tettera, quatre et πλευρά / pleura, côté) ou tétragone (de γωνία / gônia, angle). Le mot tétragone était employé par Gerbert d'Aurillac au Xe siècle et par Oresme au XIVe siècle. Le terme quadrilatère est introduit en 1554 par Peletier. Certains auteurs latins employaient le mot « quadrangle » (Alcuin, VIIIe siècle) ou « helmuariphe », terme d'origine arabe (Campanus, XIIIe siècle, et d'autres à la Renaissance). Pour les Grecs, un quadrilatère avec un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) rentrant s'appelait un « koïlogone » (de κοιλοσ / koïlos, creux), et certains appelaient « trapèze » un quadrilatère dont tous les côtés sont inégaux. « Tétragone » est employé par Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης...) dans Les Éléments pour désigner le carré.

Quadrilatère convexe

En géométrie élémentaire, une grande place est accordée aux quadrilatères convexes.

Un quadrilatère est convexe si et seulement si, quel que soit le côté que l'on choisit, le quadrilatère est entièrement inclus dans un demi-plan dont la frontière (Une frontière est une ligne imaginaire séparant deux territoires, en particulier deux...) porte ce côté. Cette caractérisation est générale à tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) polygone convexe. Dans le cas particulier du quadrilatère, il existe aussi une autre caractérisation : un quadrilatère est convexe si et seulement si les diagonales forment des segments sécants.

Quand un quadrilatère est convexe, une droite du plan ne passant pas par un sommet ne peut pas rencontrer plus de deux côtés du quadrilatère.

Somme des angles : la somme des angles d'un quadrilatère convexe vaut 360 ° mais cette propriété n'est plus vraie pour un quadrilatère concave.

Aire : l'aire d'un quadrilatère convexe est égale au demi-produit des diagonales multiplié par le sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour...) de l'angle qu'elles forment (l'angle utilisé étant le plus petit des deux angles formés par les droites).

L'intérieur d'un quadrilatère convexe ABCD est alors défini comme l'intersection des demi-plans délimités par (AB), par (BC), par (CD) et par (DA) et contenant respectivement chacun les points C, D, A et B. Il est alors possible, dans un plan muni d'un repère cartésien, de définir l'intérieur d'un quadrilatère en comparant des signes : le point (Graphie) P(x,y) est intérieur au quadrilatère convexe ABCD si et seulement si les quatre conditions suivantes sont vérifiées :

(yByA)x − (xBxA)yxA.yB + xB.yA a même signe que (yByA)xC − (xBxA)yCxA.yB + xB.yA
(yCyB)x − (xCxB)yxB.yC + xC.yB a même signe que (yCyB)xD − (xCxB)yDxB.yC + xC.yB
(yDyC)x − (xDxC)yxC.yD + xD.yC a même signe que (yDyC)xA − (xDxC)yAxC.yD + xD.yC
(yAyD)x − (xAxD)yxD.yA + xA.yD a même signe que (yAyD)xB − (xAxD)yBxA.yA + xA.yD
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