Objets fractals, une initiation au concept et à ses applications
Publié par Publication le 27/06/2008 à 23:08
Nous quittons le monde réel et nous allons nous amuser à inventer des formes selon le principe de division et ramification par une règle de construction répétitive. Délaissant les branches des dessins précédents, nous allons utiliser un procédé de ramification qui crée des bosses. De plus, tandis que les ramifications précédentes formaient un éventail avançant dans une direction, nos excroissances s'étendent maintenant dans toutes les directions du plan.

Partons d'un carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à la...) que nous traçons assez grand. Nous lui accolons des petits carrés aux coins extérieurs, que nous choisissons 3 fois plus petits (ill.5a). Appliquant à nouveau cette règle de construction à chacun de ces petits carrés, nous accolons des petits carrés 3 fois plus petits à chacun de leurs trois coins extérieurs (ill.5b). Nous répétons une troisième fois (ill.5c). La fractale (On nomme fractale ou fractal (nom masculin moins usité), une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques. Le terme « fractale » est un néologisme créé par...) se développe lorsqu'on poursuit ce processus.

a b c
ill.5 - Exemple de construction fractale.
(a) Un carré est orné de petits carrés 3 fois plus petits en ses coins saillants.
(b) Chacun de ces petits carrés se voit à son tour doté
en ses trois coins saillants de 3 autres carrés 3 fois plus petits.
(c) On recommence le processus indéfiniment,
mais la limite de résolution de notre vision ne nous permet pas
de distinguer les détails trop fins.

Par l'esprit, nous pouvons envisager que le processus se poursuit indéfiniment, mais en pratique, nous devons nous arrêter à un certain moment. Car nos carrés vont rapidement devenir plus petits que l'épaisseur du trait du papier (Le papier (du latin papyrus) est une matière fabriquée à partir de fibres cellulosiques végétales et animales. Il se présente sous forme de...) ou de l'écran (Un moniteur est un périphérique de sortie usuel d'un ordinateur. C'est l'écran où s'affichent les informations saisies ou demandées par l'utilisateur et générées ou restituées par l'ordinateur, sous forme de texte et d'images...).

Si nous dessinons sur l'écran de l'ordinateur (Un ordinateur est une machine dotée d'une unité de traitement lui permettant d'exécuter des programmes enregistrés. C'est un ensemble de circuits électroniques permettant de...) comme les illustrations de cet article, l'épaisseur minimum du trait est d'un pixel (Le pixel, souvent abrégé px, est une unité de surface permettant de mesurer une image numérique. Son nom provient de la locution anglaise picture element, qui signifie...). Pour voir les carrés plus petits, il suffit de demander à l'ordinateur de grossir la figure. Il n'a pas de limite de grossissement et le dessin n'est jamais fini. Une caractéristique des fractales est qu'elles ne sont jamais terminées. En pratique, on demande à l'ordinateur de s'arrêter lorsqu'il a atteint une certaine condition ou un critère suggéré par l'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) pratique que l'on en fera.

Fragmentation

Prenons le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) d'examiner cette construction. A chaque étape, les nouveaux carrés rendent la bordure plus découpée, avec de plus en plus d'excroissances, séparées par des anfractuosités. L'aspect fractionné constitue un aspect primordial des fractales, et c'est ce qui leur a valu leur nom de la part du chercheur (Un chercheur (fem. chercheuse) désigne une personne dont le métier consiste à faire de la recherche. Il est difficile de bien cerner le métier de chercheur tant les domaines de recherche...) qui les a créées et étudiées, Benoît Mandelbrot (Benoît Mandelbrot (20 novembre 1924 - ) est un mathématicien français. Il a travaillé au début de sa carrière sur des applications originales de la théorie de l’information, puis développé ensuite une nouvelle...). Un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est défini...) fractal possède une structure divisée, formée de domaines compacts de tailles variables, séparés par des vides de tailles variables.

Le fractionnement est obtenu par la répétition à l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose...) d'une règle de construction, mais celle-ci est entièrement libre et ne dépend que de l'imagination de l'auteur. Ajoutons le libre choix de la forme de départ, par exemple triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de...) ou carré ou n'importe quel polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, formée d'une suite cyclique de segments consécutifs et délimitant une portion du plan.), et on se rendra compte de l'immensité du champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) de création.

Le flocon de neige de Koch

Avant même que la notion de fractale ne soit inventée, un mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son...) suédois du nom de Von Koch avait étudié en 1904 une figure fractale basée sur un triangle, qui en se fractionnant prend l'aspect d'un flocon de neige.

Dessinons un triangle équilatéral (par exemple de 27 cm pour mieux comprendre la suite). Au milieu de chacun des côtés, accolons un nouveau triangle 3 fois plus petit. Nous obtenons une étoile (Une étoile est un objet céleste émettant de la lumière de façon autonome, semblable à une énorme boule de plasma comme le Soleil, qui est l'étoile la plus proche de la...) à 6 sommets dont le périmètre (Le périmètre d'une figure plane est la longueur du bord de cette figure. Le calcul du périmètre sert par exemple à...) est composé de 12 côtés (de 9 cm). Il y a aussi 6 creux ou angles rentrants. Répétant le procédé sur chacun des 12 côtés, nous accolons un triangle 3 fois plus petit sur leur tiers central, et nous obtenons 48 côtés de 3 cm, 18 sommets et 30 anfractuosités. Et ainsi de suite jusqu'à l'infini.


ill.6 - Construction du flocon de Koch
d'après le site CV Conseils
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