Objets fractals, une initiation au concept et à ses applications
Publié par Publication le 27/06/2008 à 23:08
Les exemples de la fougère, du chou-fleur, des fleuves, du flocon de neige nous montrent que de nombreuses formes naturelles sont construites approximativement sur le modèle de structures fractales. C'est le cas chaque fois que ces formes sont fractionnées ou enchevêtrées et que leur structure est semblable sur une gamme d'échelles étendue. On trouve ces caractéristiques dans la matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide, l'état liquide, l'état gazeux. La matière occupe de...) qui résulte d'un processus de croissance, développement, agglomération (Une agglomération est un ensemble urbain qui repose sur la continuité du bâti. L'agglomération correspond à la ville sur le plan physique. Une...) ou concrétion: arbres, vaisseaux sanguins, nuages, galaxies (Galaxies est une revue française trimestrielle consacrée à la science-fiction. Avec ce titre elle a connu deux existences, prenant par ailleurs la suite de deux autres Galaxie, cette fois au singulier.) et matière interstellaire.

Modélisation et compression d'image

Ces formes de la nature peuvent être modélisées par ordinateur (Un ordinateur est une machine dotée d'une unité de traitement lui permettant d'exécuter des programmes enregistrés. C'est un ensemble de...) (ill.3). Les artistes peuvent par ce moyen inventer des paysages irréels ou surréalistes (ill.1).

Une image numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition à une information dite...) est faite de rangées et colonnes de points avec une certaine couleur (La couleur est la perception subjective qu'a l'œil d'une ou plusieurs fréquences d'ondes lumineuses, avec une (ou des) amplitude(s) donnée(s).) et une certaine brillance. Normalement, lorsque vous enregistrez une image ou que vous l'envoyez par courriel, le fichier ( Un fichier est un endroit où sont rangées des fiches. Cela peut-être un meuble, une pièce, un bâtiment, une base de données informatique. Par exemple : fichier des patients d'un...) comporte les valeurs de tous ces points et c'est pourquoi les fichiers images sont parfois bien volumineux . Or, en ce qui concerne les images fractales, cela devient bien plus simple, bien plus léger. Il suffit de donner la règle de construction répétitive (on dit le procédé itératif) et l'ordinateur recalcule les valeurs des points au moment de l'affichage (L' affichage désigne l'application d'une surface de papier script dans un lieu public(et non du foyer)sur un support destiné à son émission, externe ou interne, ce qui en fait un média à part entière...).

Pour cette raison, des techniques mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les...) utilisant les fractales ont été utilisées pour la compression d'image, c'est-à-dire pour en réduire le volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.). Les jeux vidéos (La vidéo regroupe l'ensemble des techniques, technologie, permettant l'enregistrement ainsi que la restitution d'images animées, accompagnées ou non de son, sur un support adapté à l'électronique et non de type...) et le cinéma (On nomme cinéma une projection visuelle en mouvement, le plus souvent sonorisée. Le terme désigne indifféremment aujourd'hui une salle de projection ou...) y font souvent appel pour la création de paysages synthétiques tels que montagnes ou arbres.

L'intervention du hasard


ill.7- Montagne fractale (On nomme fractale ou fractal (nom masculin moins usité), une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes...)
Création © Jean-François Colonna

Pour créer de façon synthétique des paysages de rochers et de montagnes (ill.7), il faut faire appel à un autre type de procédé de construction numérique, qui fait intervenir le hasard.

Nous partons d'un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est justifiée par la présence de...), comme pour le flocon. Nous le fractionnons en 4 triangles 4 fois plus petits, en joignant les milieux de chaque côté (exemple ill.8, deuxième étape). La règle répétitive consiste à déplacer chacun de ces triangles vers le haut ou vers le bas de façon aléatoire. On fixe une distance maximum de déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles orientés. En psychanalyse, le déplacement est mécanisme de défense déplaçant la...). Et on recommence avec ces 4 nouveaux triangles...

On peut inventer d'autres types de déplacement des éléments de l'image afin de créer d'autres types de paysages, tels que nuages, liquides, lignes de côtes, etc. Mais l'élément nouveau important est le caractère aléatoire de ce déplacement. Il s'agit donc d'une deuxième catégorie d'images fractales, la première catégorie étant fondée sur une règle de répétition déterminée.

Il est surprenant et même paradoxal que des procédés de calculs très simples puissent recréer des paysages naturels aussi complexes que montagnes, végétaux ou cours d'eau (L’eau est un composé chimique ubiquitaire sur la Terre, essentiel pour tous les organismes vivants connus.). Cela montre que derrière un désordre et une complexité (La complexité est une notion utilisée en philosophie, épistémologie (par exemple par Anthony Wilden ou Edgar Morin), en physique,...) apparente, peut se cacher une information toute simple. Certains avancent que l'ADN lui-même pourrait coder des processus de croissance et de division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division par ce nombre" est la réciproque de...), non pas en donnant le plan final obtenu, mais le procédé de construction.
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