Objets fractals, une initiation au concept et à ses applications

Publié par Publication le 27/06/2008 à 23:08
Les exemples de la fougère, du chou-fleur, des fleuves, du flocon de neige nous montrent que de nombreuses formes naturelles sont construites approximativement sur le modèle de structures fractales. C'est le cas chaque fois que ces formes sont fractionnées ou enchevêtrées et que leur structure est semblable sur une gamme d'échelles étendue. On trouve ces caractéristiques dans la matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses...) qui résulte d'un processus de croissance, développement, agglomération (Une agglomération est un ensemble urbain qui repose sur la continuité du bâti....) ou concrétion: arbres, vaisseaux sanguins, nuages, galaxies (Galaxies est une revue française trimestrielle consacrée à la science-fiction. Avec...) et matière interstellaire.

Modélisation et compression d'image

Ces formes de la nature peuvent être modélisées par ordinateur (Un ordinateur est une machine dotée d'une unité de traitement lui permettant...) (ill.3). Les artistes peuvent par ce moyen inventer des paysages irréels ou surréalistes (ill.1).

Une image numérique (On désigne sous le terme d’image numérique toute image (dessin, icône,...) est faite de rangées et colonnes de points avec une certaine couleur (La couleur est la perception subjective qu'a l'œil d'une ou plusieurs fréquences d'ondes...) et une certaine brillance. Normalement, lorsque vous enregistrez une image ou que vous l'envoyez par courriel, le fichier ( Un fichier est un endroit où sont rangées des fiches. Cela peut-être un meuble, une pièce,...) comporte les valeurs de tous ces points et c'est pourquoi les fichiers images sont parfois bien volumineux . Or, en ce qui concerne les images fractales, cela devient bien plus simple, bien plus léger. Il suffit de donner la règle de construction répétitive (on dit le procédé itératif) et l'ordinateur recalcule les valeurs des points au moment de l'affichage (L' affichage désigne l'application d'une surface de papier script dans un lieu public(et non du...).

Pour cette raison, des techniques mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) utilisant les fractales ont été utilisées pour la compression d'image, c'est-à-dire pour en réduire le volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension...). Les jeux vidéos (La vidéo regroupe l'ensemble des techniques, technologie, permettant l'enregistrement ainsi que la...) et le cinéma (On nomme cinéma une projection visuelle en mouvement, le plus souvent sonorisée. Le terme...) y font souvent appel pour la création de paysages synthétiques tels que montagnes ou arbres.

L'intervention du hasard


ill.7- Montagne fractale (On nomme figure fractale ou "fractale" par substantivation de l'adjectif (ou encore en anglais...)
Création © Jean-François Colonna

Pour créer de façon synthétique des paysages de rochers et de montagnes (ill.7), il faut faire appel à un autre type de procédé de construction numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information...), qui fait intervenir le hasard.

Nous partons d'un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points...), comme pour le flocon. Nous le fractionnons en 4 triangles 4 fois plus petits, en joignant les milieux de chaque côté (exemple ill.8, deuxième étape). La règle répétitive consiste à déplacer chacun de ces triangles vers le haut ou vers le bas de façon aléatoire. On fixe une distance maximum de déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles...). Et on recommence avec ces 4 nouveaux triangles...

On peut inventer d'autres types de déplacement des éléments de l'image afin de créer d'autres types de paysages, tels que nuages, liquides, lignes de côtes, etc. Mais l'élément nouveau important est le caractère aléatoire de ce déplacement. Il s'agit donc d'une deuxième catégorie d'images fractales, la première catégorie étant fondée sur une règle de répétition déterminée.

Il est surprenant et même paradoxal que des procédés de calculs très simples puissent recréer des paysages naturels aussi complexes que montagnes, végétaux ou cours d'eau (L’eau est un composé chimique ubiquitaire sur la Terre, essentiel pour tous les...). Cela montre que derrière un désordre et une complexité (La complexité est une notion utilisée en philosophie, épistémologie (par...) apparente, peut se cacher une information toute simple. Certains avancent que l'ADN lui-même pourrait coder des processus de croissance et de division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par...), non pas en donnant le plan final obtenu, mais le procédé de construction.
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