Objets fractals, une initiation au concept et à ses applications
Publié par Publication le 27/06/2008 à 23:08
Revenons aux procédés répétitifs déterminés, et constatons que dans les cas précédents, ramifications et excroissances concernent des lignes que nous allongeons. Or pourquoi ne pas ajouter ou enlever aussi des surfaces et des volumes? C'est ce qu'a étudié au début du vingtième siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et faisait 33 ans...) le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son...) polonais Wacław Franciszek Sierpiński avant que ne soit précisée la notion de fractale (On nomme fractale ou fractal (nom masculin moins usité), une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques. Le terme « fractale » est un néologisme...), à partir d'un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est justifiée par la...) ou d'un quadrilatère (En géométrie plane, un quadrilatère est un polygone à 4 côtés.). Voici un exemple de trous effectués dans un triangle.


ill.8 - Triangle de Sierpiński. Merci à Wikipedia

Partant d'un triangle équilatéral (les 3 côtés ont la même longueur), nous le divisons en 4 triangles en joignant les milieux des côtés. Le trou sera le triangle central, représenté en blanc (Le blanc est la couleur d'un corps chauffé à environ 5 000 °C (voir l'article Corps noir). C'est la sensation visuelle obtenue avec un spectre...) sur l'illustration. Nous appliquons à nouveau ce procédé à chacun des 3 triangles noirs restants. Et ainsi de suite jusqu'à l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.). Chaque étape enlève un quart de la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est...) restante.

Il est possible de réaliser le même type d'opération sur un cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de...) ou autre forme en volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) (voir les belles représentations en perspective du site Les Fractales).

Creuser des trous en volume, c'est imiter des matières poreuses ou creusées de galeries. C'est pourquoi ces objets ont été utilisés par des scientifiques pour modéliser des matières poreuses, granulaires, filamenteuses, des gels, etc. Les mathématiciens étudient l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une...) mathématique pour lui-même, et en font ressortir tous les aspects ou caractéristiques. Les physiciens ou chimistes transposent ces caractéristiques sur la matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide, l'état liquide, l'état gazeux. La...) qu'ils étudient et peuvent en tirer des conclusions et des prévisions sur certaines propriétés de la matière, par exemple leur résistance mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de...), leur élasticité, leur conductivité électrique (La conductivité électrique est l'aptitude d'un matériau à laisser les charges électriques se déplacer librement, autrement dit à permettre le passage du courant électrique.), etc. Notons qu'on ne peut parler de caractère fractal de la matière que si sa structure est (approximativement) identique à toutes les échelles. Autrement dit si elle comporte des vides de toutes les tailles répartis dans sa masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la...).

La modélisation par des fractales est remarquable par le fait qu'elle a clairement mis en lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil humain, c'est-à-dire comprises dans des longueurs d'onde de...) la portée du caractère divisé et connecté de nombreux systèmes, indépendamment de leur nature. La théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur l’observation ou...) des fractales relie, rassemble et transcende des disciplines indépendantes très différentes en mettant en commun leur aspect fractionné et autosimilaire (structure semblable à toutes les échelles). Elle a été employée pour décrire des systèmes relevant de la physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la connaissance de la...), la chimie (La chimie est une science de la nature divisée en plusieurs spécialités, à l'instar de la physique et de la biologie avec lesquelles elle partage des espaces d'investigations communs ou...), mais aussi de la biologie (La biologie, appelée couramment la « bio », est la science du vivant. Prise au sens large de science du vivant, elle recouvre une partie des sciences naturelles et de l'histoire naturelle des êtres...), l'astrophysique (L’astrophysique (du grec astro = astre et physiqui = physique) est une branche interdisciplinaire de l'astronomie qui concerne principalement la physique et...), l'hydraulique (L'hydraulique désigne la branche de la physique qui étudie les liquides. En tant que telle, les champs d'investigation qu'elle propose regroupent plusieurs domaines :), la météorologie (La météorologie a pour objet l'étude des phénomènes atmosphériques tels que les nuages, les précipitations ou le vent dans le but de comprendre comment ils se forment et évoluent en...), l'économie et la sociologie.
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