Objets fractals, une initiation au concept et à ses applications
Publié par Publication le 27/06/2008 à 23:08
Ayant fait le tour de la description des images fractales, nous allons maintenant entrer dans le domaine des dimensions et des mesures car les fractales présentent sur ce point une particularité remarquable qui a surpris et excité les mathématiciens qui les étudiaient. Les fractales ont une dimensionnalité fractionnaire. Pour comprendre cela, il faut juste dire quelques mots sur ce qu'est la dimensionnalité.

Prenons un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il...) familier, par exemple un morceau de tissu d'une longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet...) de 1 mètre (Le mètre (symbole m, du grec metron, mesure) est l'unité de base de longueur du Système international (SI). Il est défini, depuis 1983, comme la distance parcourue...). Si nous doublons sa longueur, il pèse 2 fois plus et coute 2 fois plus cher. Si nous doublons sa longueur et sa largeur (La largeur d’un objet représente sa dimension perpendiculaire à sa longueur, soit la mesure la plus étroite de sa face. En géométrie plane, la largeur est la plus petite...), sa surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et...) va être 4 fois plus grande, il va peser 4 fois plus et couter 4 fois plus cher. 4, c'est-à-dire 2x2 qu'on écrit 2 puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) 2 ou 22 parce qu'il y a 2 dimensions qui sont doublées, la longueur et la largeur. De même, si nous prenons une pièce de maison (Une maison est un bâtiment de taille moyenne destiné à l'habitation d'une famille, voire de plusieurs, sans être...) de 5mx5m, et une autre de 10mx10m, la deuxième a 4 fois plus de surface, donc 4 fois plus de volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) à chauffer. Mais si on double également sa hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) de plafond (Par extension, un plafond représente le maximum de quelque chose :), c'est un volume 8 fois supérieur qu'il faut chauffer, soit 2x2x2 ou 23 car les volumes ont trois dimensions (en abrégé, à 3D), longueur, largeur et hauteur.

Récapitulons: Une ligne possède une seule dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...). Ici, le mot dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) ne se réfère pas à la taille de l'objet, et l'on dira aussi que sa dimensionnalité est 1. Elle est 2 pour une surface, et elle est 3 pour un volume.

Or, la dimensionnalité des fractales n'est pas un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) entier tel que 2 ou 3, mais un nombre fractionnaire ou décimal tel que 2,7. Pour calculer la dimensionnalité d'un objet dessiné sur une surface, on multiplie sa taille par n'importe quel nombre simple n et on mesure de combien sa surface a augmenté. Par exemple la dimension d'un disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet — discus en latin.) est 2 parce que si on multiplie le diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre et limité par les points du cercle ou de la sphère. Le diamètre est aussi la longueur de ce segment. Pour...) par n, sa surface augmente de n2. En ce qui concerne la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) de Koch, nous ajoutons des petits triangles à chaque étape d'itération, ce qui multiplie sa longueur par 4/3, alors que la surface totale bouge peu. Or d'itération en itération, la courbe finit par occuper une part importante de la surface du triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est justifiée par la présence de...). Elle est intermédiaire entre une ligne et une surface. Par des définitions mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations....) rigoureuses, on peut calculer que sa dimensionnalité est 1,26, donc entre 1 et 2.

C'est essentiellement au travers de la notion de dimensionnalité que les fractales ont vu le jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel....). À partir des années 1870, les mathématiciens se penchent vers des objets mathématiques surprenants dont la dimension semble être à mi-chemin entre le point (Graphie) et la droite, tel que l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble),...) appelé la poussière de Cantor. Certains ont reconsidéré la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) habituelle de la dimensionnalité, tels Hausdorff (1919) et Besicovitch (1935).

Ce n'est qu'au milieu du 20e siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et faisait 33...) que ces ensembles sont baptisés fractale (On nomme fractale ou fractal (nom masculin moins usité), une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques....) par le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme...) Benoît Mandelbrot (Benoît Mandelbrot (20 novembre 1924 - ) est un mathématicien français. Il a travaillé au début de sa carrière sur des applications originales de la théorie de...), un chercheur (Un chercheur (fem. chercheuse) désigne une personne dont le métier consiste à faire de la recherche. Il est difficile de bien cerner le métier de chercheur tant...) franco-américain. C'est lui qui a créé le concept en rassemblant des éléments épars et en extrayant leurs caractères communs. Il a également compris l'intérêt de tels objets mathématiques pour décrire les objets ou phénomènes naturels, tels que les côtes découpées de la Bretagne, comme le montre son livre Les objets fractals, qui fait suite à un livre en anglais The fractal geometry of Nature.
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