Objets fractals, une initiation au concept et à ses applications

Publié par Publication le 27/06/2008 à 23:08
Ayant fait le tour de la description des images fractales, nous allons maintenant entrer dans le domaine des dimensions et des mesures car les fractales présentent sur ce point une particularité remarquable qui a surpris et excité les mathématiciens qui les étudiaient. Les fractales ont une dimensionnalité fractionnaire. Pour comprendre cela, il faut juste dire quelques mots sur ce qu'est la dimensionnalité.

Prenons un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans...) familier, par exemple un morceau de tissu d'une longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) de 1 mètre (Le mètre (symbole m, du grec metron, mesure) est l'unité de base de longueur du...). Si nous doublons sa longueur, il pèse 2 fois plus et coute 2 fois plus cher. Si nous doublons sa longueur et sa largeur (La largeur d’un objet représente sa dimension perpendiculaire à sa longueur, soit...), sa surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) va être 4 fois plus grande, il va peser 4 fois plus et couter 4 fois plus cher. 4, c'est-à-dire 2x2 qu'on écrit 2 puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) 2 ou 22 parce qu'il y a 2 dimensions qui sont doublées, la longueur et la largeur. De même, si nous prenons une pièce de maison (Une maison est un bâtiment de taille moyenne destiné à l'habitation d'une famille,...) de 5mx5m, et une autre de 10mx10m, la deuxième a 4 fois plus de surface, donc 4 fois plus de volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension...) à chauffer. Mais si on double également sa hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) de plafond (Par extension, un plafond représente le maximum de quelque chose :), c'est un volume 8 fois supérieur qu'il faut chauffer, soit 2x2x2 ou 23 car les volumes ont trois dimensions (en abrégé, à 3D), longueur, largeur et hauteur.

Récapitulons: Une ligne possède une seule dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...). Ici, le mot dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) ne se réfère pas à la taille de l'objet, et l'on dira aussi que sa dimensionnalité est 1. Elle est 2 pour une surface, et elle est 3 pour un volume.

Or, la dimensionnalité des fractales n'est pas un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) entier tel que 2 ou 3, mais un nombre fractionnaire ou décimal tel que 2,7. Pour calculer la dimensionnalité d'un objet dessiné sur une surface, on multiplie sa taille par n'importe quel nombre simple n et on mesure de combien sa surface a augmenté. Par exemple la dimension d'un disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une...) est 2 parce que si on multiplie le diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre...) par n, sa surface augmente de n2. En ce qui concerne la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du...) de Koch, nous ajoutons des petits triangles à chaque étape d'itération, ce qui multiplie sa longueur par 4/3, alors que la surface totale bouge peu. Or d'itération en itération, la courbe finit par occuper une part importante de la surface du triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points...). Elle est intermédiaire entre une ligne et une surface. Par des définitions mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...) rigoureuses, on peut calculer que sa dimensionnalité est 1,26, donc entre 1 et 2.

C'est essentiellement au travers de la notion de dimensionnalité que les fractales ont vu le jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la...). À partir des années 1870, les mathématiciens se penchent vers des objets mathématiques surprenants dont la dimension semble être à mi-chemin entre le point (Graphie) et la droite, tel que l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) appelé la poussière de Cantor. Certains ont reconsidéré la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) habituelle de la dimensionnalité, tels Hausdorff (1919) et Besicovitch (1935).

Ce n'est qu'au milieu du 20e siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui...) que ces ensembles sont baptisés fractale (On nomme figure fractale ou "fractale" par substantivation de l'adjectif (ou encore en anglais...) par le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute...) Benoît Mandelbrot (Benoît Mandelbrot est un mathématicien franco-américain né à Varsovie le...), un chercheur (Un chercheur (fem. chercheuse) désigne une personne dont le métier consiste à faire de la...) franco-américain. C'est lui qui a créé le concept en rassemblant des éléments épars et en extrayant leurs caractères communs. Il a également compris l'intérêt de tels objets mathématiques pour décrire les objets ou phénomènes naturels, tels que les côtes découpées de la Bretagne, comme le montre son livre Les objets fractals, qui fait suite à un livre en anglais The fractal geometry of Nature.
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