Application exponentielle - Définition

Relations entre les applications exponentielles

Dans le cas de groupes de Lie avec une métrique pseudo-riemannienne invariante par translation à droite et à gauche, les applications exponentielles de la métrique coïncident avec celles du groupe. Tous les groupes de Lie n'ont pas une telle métrique, mais c'est le cas des groupes de Lie semi-simples et connexes. L'existence d'une métrique riemannienne bi-invariante est une condition plus forte, qui implique que l'algèbre de Lie est celle d'un groupe de Lie compact ; réciproquement, tout groupe de Lie compact (ou abélien) possède une telle métrique riemannienne.

Prenons par exemple la fonction exponentielle usuelle. Partant de l'ensemble des réels positifs R⁺ considérés comme un groupe de Lie pour la multiplication usuelle, l'espace tangent en chaque point est (isomorphe à) R. Sur chaque copie de R au point y, nous définissons le produit scalaire

〈u,v〉_y = uv/y²

(c'est ce facteur 1//y² qui rend la métrique invariante à gauche).

Considérons le point 1 ∈ R⁺, et soit x ∈ R un élément de l'espace tangent en 1. La droite partant de 1, c'est-à-dire y(t) = 1 + xt, a évidemment la même trajectoire qu'une géodésique, mais nous devons la reparamétrer pour obtenir un parcours à vitesse constante (au sens de la nouvelle métrique). Il faut donc utiliser comme nouveau paramètre la longueur d'arc, c'est-à-dire l'intégrale de la norme du vecteur tangent, pour la norme |.|_y induite par la nouvelle métrique :

et après inversion pour obtenir t en fonction de s, on a finalement

y(s) = e^sx/|x|.

Utilisant la définition de la vitesse unité, on obtient

exp₁(x) = y(|x|₁) = y(|x|),

ce qui est, comme prévu, l'exponentielle ordinaire e^x.

La distance riemanienne correspondante est simplement

dist(a,b) = |ln(b/a)|,

une métrique familière à tous ceux ayant utilisé une échelle logarithmique.