Application exponentielle - Définition

Théorie de Lie

Dans la théorie des groupes de Lie, l'application exponentielle est une application allant de l'algèbre de Lie d'un groupe G vers ce groupe, qui permet de recapturer la structure locale de G à partir de celle de l'algèbre. L'existence de cette application est l'une des principales justifications pour étudier les groupes de Lie à l'aide de leurs algèbres.

La fonction exponentielle ordinaire de l'analyse réelle est un cas particulier d'application exponentielle, en prenant pour G le groupe multiplicatif des réels non nuls (dont l'algèbre de Lie est le groupe additif formé de tous les réels). L'application exponentielle d'un groupe de Lie satisfait de nombreuses propriétés analogues à celle de l'exponentielle usuelle, mais présente aussi avec elle d'importantes différences.

Définitions

Soit G un groupe de Lie et son algèbre de Lie (que l'on peut identifier à l'espace tangent à l'élément neutre de G). L'application exponentielle peut être définie de plusieurs façons :

• C'est l'application exponentielle d'une connexion affine canonique invariante à gauche sur G, telle que le transport parallèle soit donné par les translations à gauche.
• C'est aussi l'application exponentielle d'une connexion affine canonique invariante à gauche sur G. Ces deux connections sont en général distincte, mais elles possèdent les mêmes géodésiques (orbites de sous-groupes à un paramètre agissant par la multiplication à gauche ou à droite), donc donnent naissance à la même application exponentielle.
• Elle est donnée par exp(X) = γ(1), où est l'unique sous-groupe à un paramètre de G dont le vecteur tangent à l'identité est égal à X. On déduit aisément de la règle de dérivation des fonctions composées que exp(tX) = γ(t). L'application γ peut être construite comme courbe intégrale du champ de vecteurs (invariant à gauche ou à droite) associé à X. Le fait que la courbe intégrale existe pour toutes les valeurs (réelles) du paramètre résulte, par translation gauche ou droite, de son existence près de zéro.
• Si G est un groupe de matrices, alors l'application exponentielle coïncide avec l'exponentielle de matrices, et est donné par le développement en série usuel:

(où I est la matrice identité).

• Si G est compact, il a une métrique riemannienne invariante par translations gauche et droite, et l'application exponentielle est ausi l'application exponentielle de cette métrique.

Exemples

• Le cercle unité centré en 0 du plan complexe est un groupe de Lie (appelé le groupe du cercle, et noté T ; c'est le sous-groupe multiplicatif des complexes de module 1) dont l'espace tangent en 1 peut être identifié avec l'axe des imaginaires purs, L'application exponentielle de ce groupe est donnée par c'est-à-dire par l'exponentielle complexe.

Propriétés

• Pour tous les , l'application γ(t) = exp(tX) est le seul sous-groupe à un paramètre de G dont le vecteur tangent à l'identité est X. Il en résulte que :

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• L'application exponentielle est différentiable. Sa dérivée en l'identité, , est l'application identité (avec les identifications usuelles). L'application exponentielle, par conséquent, a une restriction qui est un difféomorphisme d'un voisinage de 0 dans vers un voisinage de 1 dans G.
• L'image de l'application exponentielle est toujours contenue dans la composante connexe de l'identité de G. Quand G est compact, l'application exponentielle est surjective sur cette composante. L'image de l'application exponentielle du groupe SL₂(R) (connexe mais non compact) n'est pas ce groupe entier.
• L'application γ(t) = exp(tX) est la courbe intégrale passant par l'identité pour les deux champs de vecteurs (invariants à droite et à gauche) associés à X.
• La courbe intégrale passant par de X^L, le champ de vecteurs invariant à gauche associé à X est donnée par gexp(tX). De même, celle du champ invariant à droite X^R est donnée par exp(tX)g. Il en résulte que les flots ξ^L,R engendrés par les champs X^L,R sont donnés par :
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  Comme ces champs sont définis globalement, tout champ de vecteur invariant à droite ou à gauche sur G est complet.
• Soit un homomorphisme de groupes de Lie, et soit sa dérivée en l'identité. Alors le diagramme ci-dessous commute:

• En particulier, appliqué à l'action adjointe d'un groupe G, nous avons
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