Courbe duale - Définition
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Généralisations
Dimensions supérieures
De même, étant donné une hypersurface H, l'espace tangent en chaque point de H est un hyperplan, et, par dualité, on peut donc lui faire correspondre un point de l'espace dual, et donc obtenir une hypersurface de cet espace, appelée hypersurface duale de H.
Polygone dual
La construction de la courbe duale peut encore être appliquée à un polygone : les sommets ont pour dual des droites, et les côtés (ou plus exactement les droites supports de ces côtés) ont pour dual des points situés aux intersections de ces droites ; on obtient donc ainsi un nouveau polygone, appelé le polygone dual du premier.
Transformation de Legendre
En mécanique hamiltonienne, on est amené à considérer la transformation de Legendre, une transformation analytique des équations qu'on peut voir comme une généralisation des formules précédentes dans un contexte non géométrique.
Propriétés des courbes duales
Les propriétés de la courbe initiale se reflètent sur la courbe duale. Ainsi, sur l'image de droite, la courbe rouge a trois singularités : un point double au centre, et deux points de rebroussements en bas à droite et à gauche. La courbe duale noire est régulière, mais possède quatre points remarquables : les deux point les plus hauts ont la même tangente (horizontale), et la partie haute de la courbe présente deux points d'inflexion. La tangente double correspond au point double, et les points d'inflexion (où la variation de la pente de la tangente est non monotone) correspondent aux points de rebroussement. Pour une courbe régulière et convexe, on vérifie facilement que la courbe duale sera également régulière et convexe. Enfin, des singularités d'ordre supérieur seraient également en correspondance, ainsi un point triple correspondrait à une tangente triple de la courbe duale.
