Densité de Schnirelmann - Définition

Introduction

En mathématiques, la densité de Schnirelmann d'une suite de nombres est une manière de mesurer de quelle façon la suite est « dense ». Elle a été nommée en l'honneur du mathématicien russe L.G. Schnirelmann, qui fut le premier à l'étudier.

Intuitivement, nous ressentons qu'il y a « plus » de nombres impairs que de carrés parfaits ; toutefois, l'ensemble des nombres impairs n'est pas « plus grand » en fait que l'ensemble des carrés parfaits : les deux ensembles sont infinis et dénombrables et peuvent par conséquent être mis en bijection. Nous avons donc besoin d'une meilleure manière pour formaliser notre notion intuitive. C'est ce qu'effectue la densité de Schnirelmann.

Définition

Soit , un ensemble d'entiers naturels. On pose le nombre d'éléments de , c’est-à-dire le nombre d'éléments de qui soient inférieurs ou égaux à . Alors, la densité naturelle de Schnirelmann de A est définie comme :

c’est-à-dire la borne inférieure de l'ensemble .

Cette définition permet de dire que cette densité existe à chaque fois et qu'elle est unique, puisque tout sous-ensemble minoré de possède une borne inférieure (ce qui n'aurait pas été le cas si l'on avait considéré la limite qui n'est pas forcément définie).

Par exemple, l'ensemble des nombres impairs possède une densité de Schnirelmann de . Celle des carrés des nombres entiers ou des nombres premiers de Mersenne est nulle, bien que ces deux ensembles soient infinis.

Théorèmes de Schnirelmann

Si nous posons (l'ensemble des carrés des nombres entiers), alors le théorème des quatre carrés de Lagrange — qui stipule que tout nombre entier peut être exprimé sous la forme de somme de quatre carrés — peut être réexprimé sous la forme :

.

où est l'opérateur de la somme d'ensembles des sous-ensembles .

Il est clair que . En fait, nous avons toujours et on pourrait se demander à partir de quel point la somme des ensembles atteint la densité de Schnirelmann 1 et comment elle augmente. Il se trouve que et on peut voir qu'ajouter une fois encore produit un ensemble plus peuplé, c’est-à-dire .

Schnirelmann réussit à développer cette idée dans les théorèmes suivants, en se dirigeant vers une théorie additive des nombres, et démontra qu'ils étaient une nouvelle ressource (potentiellement puissante) pour attaquer d'importants problèmes, tels que le problème de Waring et la conjecture de Goldbach.

Le premier théorème est une formulation plus faible du théorème de Mann :

Soient et deux sous-ensembles de . Alors .

. Par induction, nous avons la généralisation suivante, sous forme de corollaire :

Soit une famille finie de sous-ensembles de . Alors .

Ce théorème fournit le premier aperçu du comportement d'accumulation des sommes d'ensembles. Il semble malheureux que sa conclusion arrive avant de montrer que est superadditive (c’est-à-dire que ). Schnirelmann y pallie avec les résultats suivants, qui suffisent pour la plus grande partie de son objectif :

Soient et deux sous-ensembles de . Si , alors .

Soit . Si , alors il existe un entier tel que , où la somme de est répétée fois.

Ce dernier théorème est explicitement connu comme « Théorème de Schnirelmann ».

Une application de ce théorème permet d'exprimer tout nombre entier comme somme de nombres premiers : soit l'ensemble des nombres premiers auquel on adjoint 0 et 1. Schnirelmann a montré que , mais que . Par application du théorème de Schnirelmann, il existe un nombre entier tel que fois la somme de soit égale à . C’est-à-dire qu'il existe un nombre tel que tout nombre entier soit au plus égal à la somme de nombres premiers.

Ce nombre est appelé « Constante de Schnirelmann ». En 2004, la meilleure estimation de cette constante est .