Densité de Schnirelmann - Définition

Propriétés

La fonction densité de Schnirelmann (où est l'ensemble des parties de ) possède les propriétés suivantes, pour  :

1.  : est toujours inférieur ou égal à 1 et supérieur ou égal à 0.
2. , ce qui découle de la définition de comme borne inférieure.
3. 
4.  : si , et donc la borne inférieure de l'ensemble des est forcément 0.
5. 

On pourrait se demander qu'elle est l'utilité d'une telle fonction de densité, puisqu'elle est extrêmement sensible aux premières valeurs de l'ensemble considéré (l'ensemble des nombres pairs, par exemple, a une densité de Schnirelmann nulle). Schnirelmann et Linnik exploitèrent ceci comme nous le verrons.

Théorème de Mann

Historiquement, les théorèmes ci-dessus étaient des indicateurs pour le résultat suivant, qui est le meilleur raffinement possible du Théorème 1, et démontré comme étant difficile à attaquer. Il devint connu comme l'hypothèse α + β, utilisée par Landau dans la démonstration du Théorème 1.1 et finalement démontré par Mann en 1942.

Théorème (Mann, 1942) Soient A et B des sous-ensembles de . Dans le cas où , nous avons encore

.

Bases additives

Un sous-ensemble avec la propriété que pour une somme finie, est appelé une base additive, et le plus petit nombre de termes requis est appelé le degré de la base. Donc, le dernier théorème exprime que tout ensemble avec une densité de Schnirelmann strictement positive est une base additive. Dans cette terminologie, l'ensemble des carrés est une base additive de degré 4.

Problème de Waring

Soit k et N des nombres naturels. Soit . Définissons comme étant le nombre de solutions enières positives de l'équation

et comme étant le nombre de solution entières positives de l'inégalité

pour les variables x_i, respectivement. Ainsi . Nous avons

Le volume du bloc N-dimensionnel défini par , est borné par le volume de l'hypercube de taille n^{1 / k}, en conséquence . La partie difficile est de montrer que cette borne fonctionne encore sur la moyenne, c.à.d.,

Lemme (Linnik) Pour tout il existe et une constante c = c(n), dépendant seulement de k, telle que pout tout ,

pour tout

Avec ceci en main, le théorème suivant peut être démontré de façon élégante. (Le lecteur est invité à donner une démonstration de ceci...)

Théorème Pour tout k il existe N pour lequel .

Nous avons ainsi exprimé la solution générale du problème de Waring :

Corollaire (Hilbert, 1909) Pour tout k il existe N, dépendant seulement de k, tel que chaque nombre entier positif n peut être exprimé comme la somme d'au plus N k-ième puissances.