Fractale de Lyapunov - Définition

Fonction fractale unidimensionelle

Une courbe fractale (chaotique) unidimensionnelle est alors obtenue par l'évaluation de l’exposant de Lyapunov en fonction de k. L’exposant de Lyapunov de la suite est facilement calculable si la fonction f_k est dérivable sur le domaine de valeurs de la suite P, comme suit :

, ici

Il faut noter toutefois que la somme ci-dessus n’est pas toujours convergente et tend vers moins l’infini pour des valeurs fixes de k, mais elle est continue entre ces valeurs. Ces points de discontinuité sont plus nombreux et dispersés chaotiquement dans la zone de chaos de la suite P où l’exposant prend le plus souvent des valeurs positives. Cela signifie qu’il existe une infinité d’intervalles dans cette zone où la suite P est chaotique, séparé par une infinité de très petits intervalles pour k où l’exposant de Lyapunov prend des valeurs négatives et où la suite P tend vers un cycle (d’autant plus rapidement que cet exposant est fortement négatif).

Pour accélérer les calculs de l’exposant de Lyapunov sur de grandes valeurs de n (et augmenter la précision du résultat), on pourra grouper les éléments de la somme par groupes de taille finie et en n'effectuant que leur produit, tant que ce produit ne dépasse pas les bornes limites de précision du résultat, et en ne sommant que les logarithmes du produit de chaque groupe. (Au sein de chaque produit il n'est pas nécessaire d'évaluer la valeur absolue de chaque terme, la valeur absolue pouvant être reportée juste avant l’évaluation du logarithme).