Groupes d'homotopie des sphères

En mathématiques, et plus spécifiquement en topologie algébrique, les groupes d'homotopie des sphères sont des invariants qui décrivent, en termes algébriques, comment des sphères de dimensions égales ou différentes peuvent s'enrouler l'une sur l'autre.

Le groupe d'homotopie d'ordre j de la sphère de dimension n, ${\mathbb{S}}^n$, est l'ensemble, noté ${\pi }_j({\mathbb{S}}^n)=[{\mathbb{S}}^j\to {\mathbb{S}}^n]$, des classes d'homotopie d'applications qui envoient un point fixé de la sphère ${\mathbb{S}}^j$ sur un point fixé de la sphère ${\mathbb{S}}^n$. Cet ensemble (pour j et n fixés), noté ${\pi }_j({\mathbb{S}}^n)$, peut être muni d'une structure de groupe abélien.

Si j < n, ce groupe est réduit à un seul élément : ${\pi }_j({\mathbb{S}}^n)=\{0\}$.

Si j = n, ce groupe est monogène infini (c'est-à-dire infini et engendré par un seul élément) : ${\pi }_n({\mathbb{S}}^n)=\mathbf{Z}$.

Si j > n, le groupe ${\pi }_j({\mathbb{S}}^n)$ est soit un groupe fini, soit la somme d'un groupe fini et d'un groupe infini monogène.

La suite spectrale de Serre fut inventée pour calculer les groupes d'homotopie des sphères, mais aucune liste complète de ces groupes n'est connue. Pour calculer ces groupes, on utilise aussi les fibrations de Hopf et la technique des variétés équipées (framed en anglais) qui provient de la théorie du cobordisme.

On peut obtenir quelques résultats vrais en toute dimension :

• Les groupes d'homotopie des sphères sont des groupes abéliens de type fini (avec un nombre fini de générateurs).
• pour$j⩽n-1$
• ${\pi }_n({\mathbb{S}}^n)=\mathbb{Z}$

En dimension 1, on a:

• ${\pi }_1({\mathbb{S}}^1)=\mathbb{Z},$
• ${\pi }_q({\mathbb{S}}^1)=0,$ pour$q⩾2$

Les sphères de dimension au moins deux sont simplement connexes donc :

En toute dimension, on a : ${\pi }_n({\mathbb{S}}^n)=\mathbb{Z}$, donc :

En toute dimension supérieure ou égale à 3, on a : ${\pi }_2({\mathbb{S}}^n)=0$, donc

En dimension 2 et 3, la fibration de Hopf

donne lieu à une suite exacte d'homotopie,

Lorsque i=2, et ${\pi }_{i-1}({\mathbb{S}}^1)=\mathbf{Z}$

Lorsque i>2 , ${\pi }_{i-1}({\mathbb{S}}^1)=0$ et ${\pi }_{i-1}({\mathbb{S}}^1)=0$, on a donc un isomorphisme :

${\pi }_i({\mathbb{S}}^3)\approx {\pi }_i({\mathbb{S}}^2)$ pour $i⩾3$,

donc

Pour les groupes d'homotopie supérieurs, d'autres techniques donnent les résultats suivants :

• ${\pi }_4({\mathbb{S}}^2)={\pi }_4({\mathbb{S}}^3)=\mathbb{Z}/(2)$
• ${\pi }_5({\mathbb{S}}^2)={\pi }_5({\mathbb{S}}^3)=\mathbb{Z}/(2)$
• ${\pi }_6({\mathbb{S}}^2)={\pi }_6({\mathbb{S}}^3)=\mathbb{Z}/(12)$

Table

Calculer les groupes d'homotopie des sphères est difficile et les résultats sont compliqués. La table suivante donne une idée de la complexité :

Les entrées de la table sont soit le groupe trivial 0, soir le groupe monogène infini $\mathbb{Z}$, soit les groupes abéliens finis ou encore (cases rouges) le produit de tels groupes finis abéliens et de $\mathbb{Z}$.

Les tables de groupes d'homotopies sont plus facilement organisées en présentant ${\pi }_{n+k}({\mathbb{S}}^n)$ en fonction de n et de k :

Stabilité en grandes dimensions

Pour les dimensions supérieures, on a:

• ${\pi }_n({\mathbb{S}}^n)=\mathbb{Z},n⩾1$ (première colonne du tableau précédent)
• ${\pi }_{n+1}({\mathbb{S}}^n)=\mathbb{Z}/(2),n⩾3$ (deuxième colonne du tableau précédent)
• ${\pi }_{n+2}({\mathbb{S}}^n)=\mathbb{Z}/(2),n⩾2$ (troisième colonne du tableau précédent)

Comme il peut être conjecturé, il s'avère que ${\Gamma }_k={\pi }_{n+k}({\mathbb{S}}^n)$ est indépendant de n pour n suffisamment grand. Ce phénomène est connu sous le nom de stabilité. Il résulte du théorème de Freudenthal suivant :

• Le morphisme de suspension est un isomorphisme pour $n⩾k+2$
• et un épimorphisme (morphisme surjectif) pour n = k + 1.

Liste des groupes d'homotopie stable

Les premiers groupes stables ${\Gamma }_k={\pi }_{2k+2}({\mathbb{S}}^{k+2})={\pi }_{n+k}({\mathbb{S}}^n),n⩾k+2$ sont les suivants :

• ${\Gamma }_{-j}={\pi }_{n-j}({\mathbb{S}}^n)=0,$
• ${\Gamma }_0={\pi }_n({\mathbb{S}}^n)=\mathbb{Z},n⩾1$
• ${\Gamma }_1={\pi }_{n+1}({\mathbb{S}}^n)=\mathbb{Z}/(2),n⩾3$
• ${\Gamma }_2={\pi }_{n+2}({\mathbb{S}}^n)=\mathbb{Z}/(2),n⩾2$
• ${\Gamma }_3={\pi }_{n+3}({\mathbb{S}}^n)=\mathbb{Z}/(24),n⩾5$
• ${\Gamma }_4={\pi }_{n+4}({\mathbb{S}}^n)=0,n⩾6$
• ${\Gamma }_5={\pi }_{n+5}({\mathbb{S}}^n)=0,n⩾7$
• ${\Gamma }_6={\pi }_{n+6}({\mathbb{S}}^n)=\mathbb{Z}/(2),n⩾5$
• ${\Gamma }_7={\pi }_{n+7}({\mathbb{S}}^n)=\mathbb{Z}/(240),n⩾9$
• ${\Gamma }_8={\pi }_{n+8}({\mathbb{S}}^n)=\mathbb{Z}/(2)\oplus \mathbb{Z}/(2),n⩾10$

Les groupes d'homotopie stable sont finis sauf pour k = 0.

À partir de k = 23, la décomposition de Γ_k se complique, par exemple :

*p-*composantes des groupes d'homotopie stable

Voir l'article Groupe abélien de type fini pour la classification des groupes abéliens finis et la notion de p-composante.

La table précédente incite à s'intéresser à la classe de congruence modulo 4 de k, si p est un nombre premier supérieur ou égal à 7 :

• Si k est pair ou congru à 1 modulo 4, la p-composante de Γ_k est 0 (quel que soit p >= 7 premier).
• Si k est congru à 3 (ou -1) modulo 4, la p-composante de Γ_k est cyclique et d'ordre p (${\Gamma }_k(p)=\mathbb{Z}/(p)$) si (p-1)/2 divise (k+1)/4, sinon elle est nulle (0).

Par exemple ${\Gamma }_k(7)=\mathbb{Z}/(7)$ si k = 12n − 1 et Γ_k(7) = 0 sinon.

${\Gamma }_k(11)=\mathbb{Z}/(11)$ si k = 20n − 1 et Γ_k(11) = 0 sinon.

${\Gamma }_k(13)=\mathbb{Z}/(13)$ si k = 24n − 1 et Γ_k(13) = 0 sinon.

La complexité réside essentiellement dans les 2-, 3- et 5- composantes du groupe Γ_k.

Groupes d'homotopie non stables

Les premiers groupes non stables sont les suivants :

• En dimension 2 et 3 (${\pi }_k({\mathbb{S}}^2)={\pi }_k({\mathbb{S}}^3)$) :
• ${\pi }_3({\mathbb{S}}^2)={\pi }_3({\mathbb{S}}^3)=\mathbb{Z}$
• ${\pi }_5({\mathbb{S}}^2)={\pi }_5({\mathbb{S}}^3)={\pi }_4({\mathbb{S}}^2)=\mathbb{Z}/(2)$
• ${\pi }_6({\mathbb{S}}^2)={\pi }_6({\mathbb{S}}^3)=\mathbb{Z}/(12)$
• En dimension 4 : ${\pi }_7({\mathbb{S}}^4)=\mathbb{Z}/(12)\oplus \mathbb{Z}$

Groupes d'homotopie infinis

Les groupes d'homotopie stable ${\pi }_{n+k}({\mathbb{S}}^n)$ sont finis sauf pour k = 0 (${\Gamma }_0=\mathbb{Z}$).

Les groupes d'homotopie instables sont finis sauf les groupes ${\pi }_{4p-1}({\mathbb{S}}^{2p})$. Ces derniers (, ${\pi }_7({\mathbb{S}}^4)$, ${\pi }_{11}({\mathbb{S}}^6)$, ...) sont isomorphes à la somme directe de $\mathbb{Z}$ et d'un groupe fini.

Groupes d'homotopie non nuls

On sait que si n>1 il y a une infinité de groupes ${\pi }_k({\mathbb{S}}^n)$ qui sont non nuls (ce sont des résultats de Jean-Pierre Serre).

On sait aussi que ${\pi }_k({\mathbb{S}}^5)\ne 0$ pour tout k>4 (M.L. Curtis).

• Pour les applications du groupe fondamental (n=1), voir l'article Groupe fondamental.
• Le fait que ${\pi }_n({\mathbb{S}}^n)=\mathbb{Z}$ implique le théorème de Brouwer qui affirme que toute application continue de la boule (de dimension >1) dans elle-même a un point fixe.

Ce groupe permet de définir le degré de Brouwer d'une application de la sphère dans elle-même.

• Les groupes d'homotopie stable sont importants en théorie des singularités.
• Le fait que le 3 groupe d'homotopie stable est $\mathbb{Z}/(24)$ implique le théorème de Rokhlin qui affirme que la signature d'une variété spinorielle de dimension 4 est divisible par 16.
• Les groupes d'homotopie stable servent à décrire les groupes de h-cobordisme des homotopies orientées de sphères, qui pour $n\ne 4$ est le groupe des sphères exotiques orientées de dimension n.
• Les groupes d'homotopie des sphères sont liés aux classes de bordisme des variétés.
• Ils permettent également de calculer les groupes d'homotopie des fibrés, des groupes de Lie et des espaces symétriques.

En géométrie algébrique, on définit les ${\mathbb{S}}^{n,i}$ qui sont les sphères de dimension n et de poids i.

On peut définir les groupes d'homotopie stable des sphères comme colimites (ou limite inductive) de l'ensemble des classes d'homotopie d'applications de ${\mathbb{S}}^{2r+n,r}$ vers ${\mathbb{S}}^{2r,r+i}$

• Doubrovine, Novikov, Fomenko : Géométrie contemporaine : tomes 2 et 3 , ed. Mir.
• Claude Godbillon : Eléments de Topologie algébrique, ed. Hermann.
• Fabien Morel : Groupes d'homotopie de sphères algébriques et formes quadratiques in Leçons de mathématiques d'aujourd'hui, volume 3, ed. Cassini (2007)