Matrice semi-simple - Définition

Introduction

En algèbre linéaire, la notion de matrice semi-simple constitue une généralisation de la notion de matrice diagonalisable. Elle permet de discriminer deux types d'obstruction à la diagonalisabilité : d'une part les obstructions liées à l'arithmétique du corps de coefficients dans lequel la matrice est considérée, et d'autre part les obstructions qui demeurent indépendantes de ce corps.

Une matrice A à coefficients dans un corps est dite semi-simple sur si tout sous-espace invariant par A possède un supplémentaire invariant par A.

Résultats généraux

La semi-simplicité se caractérise à l'aide du polynôme minimal de la matrice considérée : une matrice à coefficients dans est semi-simple si et seulement si son polynôme minimal est sans facteur carré (c'est-à-dire qu'il n'admet aucun diviseur qui soit le carré d'un autre polynôme) dans .

En particulier, dans le cas où toutes les racines du polynôme minimal de A appartiennent à , ceci se particularise en : A est semi-simple si et seulement si elle est diagonalisable.

Si le corps des coefficients a la propriété d'être parfait (par exemple tout corps de caractéristique nulle, comme le corps des nombres rationnels ou le corps des nombres réels, ou tout corps fini), c'est-à-dire que tous les polynômes irréductibles à coefficients dans ce corps n'ont que des racines simples dans une clôture algébrique de ce corps, la caractérisation peut s'écrire : une matrice est semi-simple si et seulement si elle est diagonalisable dans une clôture algébrique du corps.

Articles liés

• Corps parfait
• Matrice diagonalisable

Un exemple dans un corps non parfait

Les définitions et résultats qui précèdent peuvent dépendre du corps dans lequel on se place.

Voici un exemple quelque peu pathologique, qui permet d'observer certaines subtilités.

Soit le corps à deux éléments, et soit , le corps des fractions rationnelles sur . Définissons la matrice

Le polynôme caractéristique de cette matrice est χ_A(Z) = Z² − Y, dont le terme constant Y n'est pas un carré dans les fractions rationnelles à coefficients dans . En effet, si c'était le carré de p(Y) / q(Y), on devrait avoir Yq(Y)² = p(Y)². Le premier membre de cette relation est de degré impair en Y et son second membre est de degré pair, il y a donc une contradiction. Le polynôme χ_A est donc irréductible : s'il admettait une factorisation, celle-ci serait de la forme Z² − Y = (aY + b)(cY + d). On aurait donc ac = 1, ad + bc = 0 et bd = Y, d'où l'on tire a²d² = Y et on a une contradiction. Ceci montre que la matrice A n'a pas de valeur propre dans . Elle est donc semi-simple sur .

On considère maintenant l'extension , obtenue en adjoignant à une racine carrée de Y, notée X. On vérifie très facilement que est bien un corps, qui contient  ; c'est le corps de décomposition de A.

Maintenant, χ_A(Z) = Z² − X² = (Z − X)² n'est plus irréductible, et A a comme valeur propre double X. Si A était diagonalisable, elle serait semblable à la matrice scalaire XI, donc égale à cette matrice. Mais on constate que A n'est pas une matrice scalaire. Elle n'est donc pas diagonalisable et donc pas semi-simple sur .