Corps parfait
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Introduction

En mathématiques et plus particulièrement en algèbre dans le contexte de la théorie de Galois, un corps parfait est un corps dont toutes les extensions algébriques sont séparables.

Les corps parfaits sont utiles pour la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur l’observation...) de Galois, car les théorèmes fondateurs, comme le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir...) de l'élément primitif ou le théorème fondamental de la théorie de Galois utilisent dans les hypothèses le fait que l'extension considérée est séparable.

Les corps parfaits sont relativement fréquents, en effet, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) corps de caractéristique nulle comme ceux des nombres rationnels, des nombres réels ou des nombres complexes sont parfaits. C'est aussi le cas des corps finis.

Définition

Soit K un corps et L une extension algébrique (En mathématiques et plus particulièrement en algèbre, une extension algébrique L sur un corps K est une extension de corps dans laquelle tous les éléments sont algébriques sur K...) de K.

  • Un corps K est dit parfait si et seulement si toutes ses extensions algébriques sont séparables.

Dire qu'une extension est séparable signifie que tout polynôme minimal (Le polynôme minimal est un outil qui permet d'utiliser des résultats de la théorie des polynômes à l'algèbre linéaire. Il est en effet possible d'appliquer un polynôme à...) d'un élément de L à coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace vectoriel, une fonction de base...) dans K n'admet aucune racine multiple dans sa clôture algébrique (En mathématiques, une clôture algébrique d'un corps K est une extension algébrique de K qui est algébriquement close.).

Propriétés

Critère de séparabilité

Article détaillé : Extension séparable

L'analyse des extensions séparables permet d'établir critères de séparabilité d'un polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent...).

  • Un polynôme est séparable si et seulement si lui et sa dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus...) formelle sont premiers entre eux.

Dans le cas d'un polynôme irréductible, car particulièrement intéressant dans le cadre de la théorie de Galois, cette proposition implique le corollaire (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un...) suivant :

  • Un polynôme irreductible est séparable si et seulement si sa dérivée formelle n'est pas nulle.
  • Supposons K de caractéristique p et P[X] un polynôme irreductible. Il est séparable si et seulement s'il n'existe pas de polynôme Q[X] dans K[X] tel que l'on ait l'égalité P[X]=Q[Xp].

Ces propositions sont démontrées dans l'article détaillé.

  • Soit L une extension de K et M une extension de L. Alors si M est séparable sur K si et seuelement si M est séparable sur L et L est séparable sur K.

Caractérisation des corps parfaits

Théorème —  Un corps K est parfait si et seulement s'il est de caractéristique nulle, ou, lorsqu'il est de caractéristique p > 0, l'homomorphisme de Frobenius x\mapsto x^{p} est surjectif (autrement dit tout élément de K possède une racine p-ième dans K). En particulier tout corps fini est parfait.

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