Lemme des noyaux - Définition

Introduction

En algèbre linéaire, le lemme des noyaux est un résultat sur la réduction des endomorphismes. Dans un espace vectoriel E sur un corps K, si un opérateur u de E est annulé par un polynôme P(X) à coefficients dans K, alors ce lemme prévoit une décomposition de E comme somme directe de sous-espaces vectoriels stables par u. Ces derniers se définissent comme noyaux de polynômes en u, les projecteurs associés étant eux-mêmes des polynômes en u.

La démonstration traduit l'identité de Bezout portant sur les polynômes à des sous-espaces vectoriels. Résultat fondamental, le lemme des noyaux conduit à la décomposition de Dunford puis à la décomposition de Jordan. Plus modestement, le lemme des noyaux montre qu'un opérateur u est diagonalisable s'il est annulé par un polynôme à racines simples.

Enoncé

Démonstration

Par récurrence sur n. On pose

Initialisation

On suppose n = 2. On a alors P = P₁P₂. D'après le théorème de Bézout, il existe tel que U₁P₁ + U₂P₂ = 1. On en déduit que (U₁P₁ + U₂P₂)(f) = id_E (id_E désignant l'application identité de E).

Soit . On a , donc .

Soit . On a alors x = [(U₁P₁)(f)](x) + [(U₂P₂)(f)](x). Or

ce qui montre que . De même, on montre que .

On en déduit donc que

Hérédité

Supposons le lemme des noyaux démontré pour un . On a . On pose et Q₂ = P_{n + 1}. On a donc P = Q₁Q₂. Les polynômes Q₁ et Q₂ sont premiers entre eux, donc d'après l'étude ci-dessus, on a . Or en appliquant l'hypothèse de récurrence, . Finalement,

ce qui montre que le lemme des noyaux est vrai pour n + 1.

Applications

Le lemme des noyaux sert pour la réduction des endomorphismes. Par exemple :

v · d · m Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel • Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau