Lemme des noyaux - Définition
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Introduction
En algèbre linéaire, le lemme des noyaux est un résultat sur la réduction des endomorphismes. Dans un espace vectoriel E sur un corps K, si un opérateur u de E est annulé par un polynôme P(X) à coefficients dans K, alors ce lemme prévoit une décomposition de E comme somme directe de sous-espaces vectoriels stables par u. Ces derniers se définissent comme noyaux de polynômes en u, les projecteurs associés étant eux-mêmes des polynômes en u.
La démonstration traduit l'identité de Bezout portant sur les polynômes à des sous-espaces vectoriels. Résultat fondamental, le lemme des noyaux conduit à la décomposition de Dunford puis à la décomposition de Jordan. Plus modestement, le lemme des noyaux montre qu'un opérateur u est diagonalisable s'il est annulé par un polynôme à racines simples.
Enoncé
Lemme des noyaux — Soit E un espace vectoriel sur un corps K et soit f un endomorphisme de E. Si
![P_1,\ldots,P_n \in K[X]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/1/192527f1c86d44ab5e67ee58757eb75c_1a01e9fe9051048d3849600cdab613b5.png)
![\bigoplus_{i=1}^n \ker \left[ P_i(f) \right] = \ker \left[ \left( \prod_{i=1}^n P_i \right)(f) \right].](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/b/ba40b11861f53424230392d973cac669_0f9118aa760068696d0c45c421a7b969.png)
De plus, la projection sur Vi parallèlement à
Démonstration
Par récurrence sur n. On pose
Initialisation
On suppose n = 2. On a alors P = P1P2. D'après le théorème de Bézout, il existe
![(U_1,U_2) \in (K[X])^2](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/8/8146e0bab86c36289ba6736b00e7c5cc_d9248bd983082a1a9741f43120adddd5.png)
Soit
Soit
\}=[(U_1P_1P_2)(f)](x)=[U_1(f) \circ P(f)](x)=0;](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/0/0c02733ddfe05b757fce27990462f96a_87d39726c5f2f97cd63bcea2812d76d8.png)
ce qui montre que
 \in \ker P_2(f)](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/d/d6db253332dc2cb528d8891fe30193c0_ef4d8156d9ab5979aefba7b7d8b17a02.png)
 \in \ker P_1(f)](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/b/be11d9e6555d228ef629bd849f55068b_2e2f270acbf1750a94997642ef07f648.png)
On en déduit donc que
Hérédité
Supposons le lemme des noyaux démontré pour un
![\ker P(f)=\ker Q_1(f) \oplus \ker Q_2(f)= [\ker P_1(f) \oplus \cdots \oplus \ker P_n(f)]\oplus \ker P_{n+1}(f)=\bigoplus_{i=1}^{n+1} \ker P_i(f);](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/6/603a1ad3a1e9863aa2f0cb76f3d9fd6e_13d2a572a1a7def9054bc38ce525bb8b.png)
ce qui montre que le lemme des noyaux est vrai pour n + 1.
Applications
Le lemme des noyaux sert pour la réduction des endomorphismes. Par exemple :
Réduction à une forme diagonale par blocs — Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps K et soit f un endomorphisme de E. Soit
![P\in K[X]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/4/4facb36da11821b818abd66b424a6a76_900de20a38c2e3338cc40e60fd9ffc55.png)
où ni = dimkerPi(f).
Par hypothèse kerP(f) = E, donc, d'après le lemme des noyaux :
Chaque sous-espace kerPi(f) est stable par f, donc la matrice de f dans n'importe quelle base de E adaptée à la décomposition précédente en sous-espaces stables, est diagonale par blocs comme souhaité.
