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Médiatrice

Introduction

En géométrie plane, la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment. Cet ensemble est la droite passant par le milieu du segment et qui est perpendiculaire au segment. La médiatrice (En géométrie plane, la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment. Cet ensemble est la droite passant par le milieu du segment...) d'un segment [AB] divise donc le plan en deux demi-plans. Les points plus proches de A que de B sont dans un des demi-plans et les points plus proches de B que de A sont dans l'autre. Ainsi les frontières du diagramme de Voronoï (En mathématiques, un diagramme de Voronoï (aussi appelé décomposition de Voronoï ou partition de Voronoï du nom du mathématicien russe Georgi Fedoseevich Voronoï (1868 - 1908)) est...) sont des segments de médiatrices.

Propriétés

Dans un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle »...), les médiatrices des trois côtés sont concourantes en un point (Graphie) qui est le centre du cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon...) circonscrit de ce triangle.

La médiatrice d'un segment est un axe de symétrie de ce segment. Dans un rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.), les médiatrices des côtés sont également des axes de symétries du rectangle.

Construction au compas et à la règle

Cette construction est attribuée à ?nopide de Chios. Elle permet de construire la médiatrice d'un segment à l'aide d'une règle et d'un compas. On n'utilise donc pas d'équerre ou de règle graduée.

Construction de la médiatrice au compas

Soit le segment [AB]. On règle d'abord le compas à un rayon quelconque, supérieur à la moitié de la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est...) AB. Avec cet écartement de compas, on trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la géométrie du plasma coronal, à travers des images haute...) un cercle centré sur A, puis un cercle de même rayon centré sur B. Ces deux cercles se coupent en deux points C et D. On trace enfin la droite (CD) qui est la médiatrice de [AB].

Construction d'une médiatrice au compas et à la règle non graduée

En effet, comme rayons des cercles CA = CB et DA = DB. Les points C et D sont donc deux points distincts de la médiatrice. La droite passant par C et D est nécessairement la médiatrice de [AB].

Intérêt de cette construction

Construction d'une perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin per-pendiculum (fil à plomb) et...) à une droite passant par un point donné.

Cette construction est habituellement privilégiée pour sa meilleure précision en comparaison à l'utilisation de la règle et de l'équerre puisqu'il n'est pas nécessaire de mesurer le segment pour en trouver le milieu.

Cette construction permet de tracer la perpendiculaire à une droite donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) passant par un point donné. Ainsi toute construction à l'équerre est réputée réalisable à la règle et au compas seulement.

Considérons une droite (D) et un point C extérieur à cette droite. On commence par tracer un cercle de centre C qui va couper la droite (D) en deux points A et B. Grâce à la construction précédente, on construit la médiatrice de [AB]. Comme C est à égale distance de A et B, C est sur cette médiatrice. Ainsi la médiatrice de [AB] est la droite perpendiculaire à (D) et passant par C.

Source: Wikipédia publiée sous licence CC-BY-SA 3.0. Vous pouvez soumettre une modification à cette définition sur cette page.

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Samedi 14 Juillet 2018 à 12:00:17 - Multimédia - 1 commentaire
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