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Méthode de Cardan - Définition

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- Introduction - Formules de Cardan - Exemples - Principe de la méthode - Remarque historique

Introduction

La méthode de Cardan, proposée par Jérôme Cardan dans son ouvrage Ars Magna publié en 1545, est une méthode permettant de résoudre toutes les équations du troisième degré.

Cette méthode permet de mettre en place des formules, appelées formules de Cardan, donnant en fonction de p et q les solutions de l'équation :

z^3+pz + q= 0 ~

Elle permet de prouver que les équations de degré 3 sont résolubles par radicaux. Seules les équations de degré 1, 2, 3, 4 sont génériquement résolubles par radicaux, c’est-à-dire que seules ces équations possèdent des méthodes générales de résolutions donnant les solutions en fonction des coefficients du polynôme en utilisant seulement les quatre opérations habituelles sur les nombres rationnels, et l'extraction des racines nièmes.

Formules de Cardan

Considérons l'équation

z^3+pz + q= 0\,

On calcule le discriminant \Delta = q^2 + \frac{4}{27}p^3\, et on étudie son signe.

(Remarque : Il existe aussi la notion de "discriminant écriture réduite" en posant p = 3p' , q = 2q' et \Delta = 4 \Delta'\,  ; cela s'écrit \Delta' = q'^2 + p'^3\, )

Si l'on part de l'équation générale a x^3 + b x^2 + c x + d = 0\, , on se ramène à la forme réduite en posant \textstyle{x = z - \frac{b}{3a}} , p = - \frac{b^2}{3a^2} + \frac{c}{a} et q = \frac{b}{27a}\left(\frac{2b^2}{a^2}-\frac{9c}{a}\right)+\frac{d}{a} .

Dans ce qui suit, on suppose p et q réels - bien que la méthode soit valable aussi s'ils sont complexes.

Si Δ est positif

L'équation possède alors une solution réelle et deux complexes. On pose

u = \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{\Delta}}{2}} \mbox{ et } v = \sqrt[3]{\frac{-q - \sqrt{\Delta}}{2}} \mbox{ soit encore } u = \sqrt[3]{-q'+\sqrt{\Delta'}} \mbox{ et } v = \sqrt[3]{-q'-\sqrt{\Delta'}}

La seule solution réelle est alors z_0 = u + v\, . Il existe également deux solutions complexes conjuguées l'une de l'autre \begin{cases}z_1= j u +\bar{j} v \\ z_2= j^2u +\overline{j^2}v \end{cases}   où   j = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = e^{i \frac{2\pi}{3}} .

Si Δ est nul

L'équation possède alors deux solutions réelles, une simple et une double :

\begin{cases}z_0= 2\sqrt[3]{\frac{-q}{2}} = -2\sqrt{\frac{-p}{3}} = \frac{3q}{p} \\ z_1=z_2= -\sqrt[3]{\frac{-q}{2}} = \sqrt{\frac{-p}{3}} = \frac{-3q}{2p} \end{cases}

Si Δ est négatif

L'équation possède alors trois solutions réelles. Toutefois, il est nécessaire de faire une incursion dans les complexes pour toutes les trouver (voir ). Les solutions sont les sommes de deux complexes conjugués j^ku\, et \overline{j^ku} où u=\sqrt[3]{\frac{-q + i\sqrt{|\Delta|}}{2}} et k\in\{0,1,2\}\, , soit l'ensemble suivant :

\begin{cases}z_0 = u +\bar{u} \\ z_1 = j u +\overline{ju} \\ z_2= j^2u +\overline{j^2u} \end{cases}

La forme réelle des solutions est obtenue en écrivant jku sous la forme trigonométrique, ce qui donne :

z_k = 2 \sqrt{\frac{-p}{3}} \cos{\left(\frac13\arccos{\left(\frac{-q}{2}\sqrt{\frac{27}{-p^3}}\right)}+ \frac{2k\pi}{3}\right)} \mbox{ avec } k\in\{0,1,2\}\,

Exemples

Les trois exemples ci-dessous ne sont présentés que dans le but d'illustrer la méthode générale. Il va de soi que dans chacun de ces cas particuliers, diverses astuces spécifiques simplifieraient la résolution.

Exemple 1

Considérons par exemple l'équation x^3 = 18x + 35\, ou encore x^3 - 18x - 35 = 0\, . Ici, le coefficient de x^2\, est nul donc le changement de variable (en fait superflu) serait z=x\, . On a p = - 18\, et q = - 35\, , donc : u^3v^3 = {18^3 \over 27} = 216\, et u^3 + v^3 = 35\, donc u^3\, et v^3\, sont racines de l'équation X^2 - 35X + 216 = 0\, , dont les racines sont 27 et 8. Donc u et v valent 3 et 2 et la solution cherchée est x_0=z_0 = u + v = 5\, .

Si on se place dans \mathbb C , alors les autres racines sont u = 3\,j\, et v = 2\,j^2\, , où j = \exp\left(\frac{2i\pi}{3}\right) , ou bien u = 3j^2\, et v = 2j\, . On obtient donc comme autres racines :

z_1 = 3j + 2j^2 = - {5 \over 2} + i{\sqrt{3} \over 2}
z_2 = 3j^2 + 2j = - {5 \over 2} - i{\sqrt{3} \over 2}

Exemple 2

Soit à résoudre l'équation :

6x^3-6x^2+12x+7=0\, .

Posons x = z + \frac{1}{3} . On obtient en remplaçant et en développant :

54z^3+90z+95 = 0\, .

Posons alors z = u + v. On obtient 54(u + v)3 + 90(u + v) + 95 = 0, qui s'écrit :

54(u^3+v^3)+(162uv+90)(u+v)+95=0\,

La condition de simplification sera donc 162uv + 90 = 0, c’est-à-dire uv = -\frac{5}{9} . On a donc :

u^3+v^3 = -\frac{95}{54},\quad u^3v^3 = -\frac{125}{729} .

u3 et v3 sont donc les racines de l'équation :

X^2 + \frac{95}{54}X -\frac{125}{729} = 0

Les deux racines de cette équation sont u^3 = \frac{5}{2\cdot 27} , v^3 = -\frac{50}{27} . Les trois couples (u,v) vérifiant uv = -\frac{5}{9} sont donc :

u_0 = \frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{5}{2}} et v_0 = -\frac{1}{3}\sqrt[3]{50}

u_1 = \frac{j}{3}\sqrt[3]{\frac{5}{2}} et v_1 = -\frac{j^2}{3}\sqrt[3]{50}

u_2 = \frac{j^2}{3}\sqrt[3]{\frac{5}{2}} et v_2 = -\frac{j}{3}\sqrt[3]{50}

En reportant dans z = u + v on obtient :

z_0 = \frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{5}{2}} - \frac{1}{3}\sqrt[3]{50}

z_1 = \frac{j}{3}\sqrt[3]{\frac{5}{2}} - \frac{j^2}{3}\sqrt[3]{50}

z_2 = \frac{j^2}{3}\sqrt[3]{\frac{5}{2}} - \frac{j}{3}\sqrt[3]{50}

Et en reportant dans x = z + \frac{1}{3} on obtient finalement les trois solutions de l'équation que l'on s'était donné de résoudre :

x_0 = \frac13\left(\sqrt[3]{\frac52} - \sqrt[3]{50} + 1\right)

x_1 = \frac13\left(j\sqrt[3]{\frac52} - j^2\sqrt[3]{50} + 1\right)

x_2 = \frac13\left(j^2\sqrt[3]{\frac52} - j\sqrt[3]{50} + 1\right)

Exemple 3

Considérons l'équation x^3-6x^2+9x-1 = 0\, .

Par translation P(x) = P(z+2) = z^3-3z+1\, . Posons alors z = u + v\, .

On obtient (u + v)3 − 3(u + v) + 1 = 0, qui s'écrit :

u3 + v3 + (3uv − 3)(u + v) + 1 = 0

La condition de simplification sera donc 3uv − 3 = 0, c’est-à-dire :

uv = 1\, .

On a donc :

u^3+v^3 = -1,\qquad u^3v^3 = 1 .

u3 et v3 sont donc les racines de l'équation :

X^2 + X + 1 = 0\, .

Les deux racines de cette équation sont :

u^3 = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2} = e^{\frac{2i\pi}{3}}= j,\qquad v^3 = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2} = e^{\frac{-2i\pi}{3}}= j^2.

Les trois couples (u,v) vérifiant uv = 1\, sont donc :

u_0 = e^{\frac{2i\pi}{9}},\qquad v_0 = e^{\frac{-2i\pi}{9}},
u_1 = je^{\frac{2i\pi}{9}},\qquad v_1 = j^2{{e}}^{\frac{-2i\pi}{9}},
u_2 = j^2{{e}}^{\frac{2i\pi}{9}},\qquad v_2 = je^{\frac{-2i\pi}{9}}.

En reportant dans z = u + v on obtient :

z_0 = e^{\frac{2i\pi}{9}} + e^{\frac{-2i\pi}{9}} = 2\cos\left(\frac{2\pi}{9}\right) ,
z_1 = je^{\frac{2i\pi}{9}} + j^2{{e}}^{\frac{-2i\pi}{9}}= 2\cos\left(\frac{8\pi}{9}\right),
z_2 = j^2{{e}}^{\frac{2i\pi}{9}} + je^{\frac{-2i\pi}{9}}= 2\cos\left(\frac{4\pi}{9}\right),

d'où les solutions x_k=z_k+2\, .

Principe de la méthode
- Introduction - Formules de Cardan - Exemples - Principe de la méthode - Remarque historique
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