Observable
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Observables non normalisables : utilisation de projecteurs

Dans le cas où les vecteurs propres de l'opérateur ne sont pas normalisables, il est indispensable, pour pouvoir calculer des probabilités utilisables, d'employer un autre type d'observable : des projecteurs.

L'observable (Dans le formalisme de la mécanique quantique, une opération de mesure (c'est-à-dire obtenir la valeur ou un intervalle de valeurs d'un...) \hat{A}, non normalisable, ayant un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.) de valeurs propres, peut être remplacé par un ensemble fini (En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement si E est vide ou s'il existe un entier n et une bijection de E dans l'ensemble des n premiers entiers...) de projecteurs Ei tels que :

  • E_i^2 = E_i = E_i+ (définition d'un projecteur)
  • E1 + E2 + .. + En = I, I étant l'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) identité sur \mathcal{H}.
  • EiEj = 0 si i ≠ j (projecteurs orthogonaux)

Cet ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) de projecteur (Le mot projecteur peut désigner les instruments d'optique suivants :) est appelé ensemble complet de projecteurs orthogonaux. On a alors : \hat{A} =  a_1 E_1 + a_2 E_2 + .. + a_n E_n

L'opérateur est alors dégénéré, dans le sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution...) où les espaces propres (sous-espace vectoriel correspondants à une valeur propre (En mathématiques, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il...) donnée) des projecteurs possèdent plus d'une dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son...).

Le cas typique et très utilisé d'opérateur dégénéré utilisant les projecteurs est la question OUI/NON où n=2, et où les valeurs propres de l'opérateur sont fixées à 1 pour "OUI" et 0 pour "NON". Cette observable est alors défini par un seul projecteur E, et tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) état quantique (En mécanique quantique, l'état d'un système décrit tous les aspects du système physique. Il est représenté par un objet mathématique qui donne le maximum d'information possible sur le système, dans le but de prévoir les...) \left| \psi \right\rangle peut s'écrire comme :

\left| \psi \right\rangle = E\left| \psi \right\rangle + (I-E)\left| \psi \right\rangle

Par exemple, pour l'observable "position", on peut calculer un opérateur dont la valeur propre est 1 si la position est dans un certaine zone, et 0 sinon.

Le cinquième postulat ne s'applique pas à un opérateur dégénéré. Il est remplacé dans ce cas par le postulat de projection, voisin, qui stipule (En botanique, les stipules sont des pièces foliaires, au nombre de deux, en forme de feuilles réduites située de part et d'autre du pétiole, à sa base, au point...) que :

  • Si le résultat d'une mesure d'un état quantique \left| \psi \right\rangle est une certaine valeur propre ai (correspondant au projecteur Ei), alors l'état propre du système est E_i\left| \psi \right\rangle .
  • La probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un...) d'obtenir la valeur propre ai est \langle \psi | E_i | \psi \rangle

Observables complémentaires

Une paire (On dit qu'un ensemble E est une paire lorsqu'il est formé de deux éléments distincts a et b, et il s'écrit alors :) d'observables est dite complémentaire ou incompatible si son commutateur est non-nul. Selon le principe d'incertitude de Heisenberg, il est impossible de mesurer ou de préciser les valeurs des deux observables simultanément. L'exemple le mieux connu est la position et le moment linéaire (ou impulsion) d'une particule.

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