Problèmes de Hilbert - Définition

Neuvième problème

Établir une loi de réciprocité dans les corps de nombres algébriques.

Une réponse à ce problème est apportée par la loi de réciprocité d'Artin, démontrée par celui-ci en 1927.Ce théorème enrichit la connaissance de la théorie des corps de classes, dont le développement fut facilité par l'introduction des idèles par Chevalley en 1936.

Huitième problème

Démontrer l'hypothèse de Riemann.

Malgré les progrès faits notamment par Deligne qui démontra les conjectures de Weil, et reçut pour cela la médaille Fields en 1978, on est encore loin d'avoir résolu ce problème, qui s'annonce comme celui du XXI^e siècle.

Onzième problème

Classer les formes quadratiques à coefficients dans les anneaux d'entiers algébriques.

Le théorème de Hasse-Minkowski résout le problème sur , et Siegel le résolut sur d'autres anneaux intègres.

Dixième problème

Trouver un algorithme déterminant si une équation diophantienne a des solutions.

Il fallut attendre les travaux de Church et Turing en 1930 pour définir rigoureusement la notion d'algorithme. En 1970, Yuri Matijasevic, établissant une équivalence entre les ensembles récursivement énumérables et les ensembles diophantiens, a établi qu'un tel algorithme ne pouvait pas exister.

Treizième problème

Montrer l'impossibilité de résoudre les équations du septième degré au moyen de fonctions de seulement deux variables.

Plus généralement, il s'agit d'étudier les fonctions continues (et, en fait, les fonctions continues de trois variables) qui ne peuvent pas s'exprimer par composition à partir de fonctions continues de deux variables. En 1954, Kolmogorov et son élève Vladimir Arnold ont montré que cette classe était vide : il existe n(2n + 1) fonctions continues universelles Φ_ij (de [0;1] dans [0;1]) telles que pour toute fonction continue , il existe 2n + 1 fonctions continues telles que . En revanche, la question de la résolubilité de l'équation du septième degré par des fonctions analytiques de deux variables est encore ouverte.

Douzième problème

Prolonger le théorème de Kronecker sur les corps non-abéliens.

Quinzième problème

Mettre en place les bases du calcul énumératif de Hermann Schubert.

Il s'agit là de rendre rigoureux certains calculs sur les objets « en position générale » en théorie de l'intersection, et en particulier le « principe de conservation des nombres ». Ce problème a donné naissance aux théories de la multiplicité de Samuel et Grothendieck.

Résolu par van der Waerden en 1930.

Quatorzième problème

Prouver le caractère fini de certains systèmes complets des fonctions.

Le problème est le suivant : on considère un corps k et un sous-corps K de  ; on pose  ; l'anneau est-il une k-algèbre de type fini ? La réponse est négative, comme l'a montré Zariski (qui donna l'interprétation géométrique suivante : il existe une variété projective X de corps des fonctions K et un diviseur effectif D sur X tel que soit l'ensemble des fonctions de K n'ayant de pôles que sur R). Cependant, la recherche de conditions suffisantes pour la validité du résultat d'Hilbert a été source d'idées très fécondes en géométrie.

Nagata donna en 1959 un contre-exemple qui montra la fausseté de la conjecture.

Dix-septième problème

Montrer qu'une fonction rationnelle positive peut s'écrire sous la forme de somme de carrés de fonctions rationnelles.

Résolu par Emil Artin en 1927. Une démonstration par la théorie des modèles a été trouvée par le logicien Abraham Robinson.