Quadrilatère complet - Définition
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Introduction
Un quadrilatère complet est une figure de géométrie plane constituée de quatre droites dont deux quelconques ne sont pas parallèles ni trois quelconques concourantes.
Une autre manière de définir un quadrilatère complet est de compléter un quadrilatère convexe ABCD par le point E intersection des droites (AB) et (CD) et le point F intersection des droites (AD) et (BC).
Cette figure est très liée à la géométrie projective et fut étudiée dès le IIe siècle par Menelaüs puis Pappus d'Alexandrie.
Propriétés
Une division harmonique sur les diagonales
Chaque diagonale coupe les deux autres en créant des divisions harmoniques. De manière plus explicite la diagonale (BD) est coupée par les diagonales (AC) et (EF) en I et J tels que
De même si K est l'intersection des diagonales (AC) et (EF) :
C'est un avatar projectif de la propriété des diagonales du parallélogramme (cas où l'une des diagonales du quadrilatère complet est la droite à l'infini dans le plan projectif vu comme plan affine complété), à savoir qu'elles se coupent en leur milieu (cas limite de division harmonique, voir l'article).
On en donne une première démonstration géométrique, qui utilise les propriétés des faisceaux harmoniques : la propriété caractéristique qui est que toute sécante à un faisceau harmonique est découpée suivant une division harmonique, et l'existence et l'unicité d'une quatrième harmonique.
Étant donné trois droites issues d'un point, il n'existe qu'une seule droite formant avec celles-là un faisceau harmonique.
Notons [O | A1,A2,A3,A4] le faisceau des droites (OA1),(OA2),(OA3),(OA4) (Les points A1,A2,A3,A4 n'étant pas forcément alignés).
Soit I le point d'intersection des diagonales (AC) et (BD). Soit M l'unique point sur la droite (EI) tel que le faisceau [E | F,C,M,D] soit harmonique. Posons
On a [F | E,B,M,D] = [F | E,B,H,C], de sorte que le faisceau [I | E,B,H,C] est harmonique (rappelons que le fait d'être harmonique ne dépend que de la position des points d'intersection avec une sécante ; ici la sécante est la droite (EC)).
Pour une raison analogue, il en est de même de [I | E,A,H',D].
Mais comme (IA) = (IC) et que (IB) = (ID), on a [I | E,A,H',D] = [I | E,B,H',C] de sorte que les deux faisceaux [I | E,B,H,C] et [I | E,B,H',C] sont tous deux harmoniques et possèdent trois droites communes. En vertu de la propriété d'unicité, ces deux faisceaux sont identiques et par conséquent (IH) = (IH').
Ainsi
Soit Y = λX, Y = μX deux droites issues de O. A = (a,0) un point de l'axe des x; Y = α(X − a) et Y = β(X − a) deux droites issues de A. On note Mi(xi,yi) les quatre points d'intersection.
On calcule facilement
La droite (M1M3) a pour équation :
On en tire l'abscisse ω du point d'intersection avec l'axe Ox :
Par permutation on déduit celle ω' de
Il en résulte
après développement des déterminants.
Remarque : on aurait pu prendre a = 1 mais la moyenne harmonique aurait
été moins visible.
Cette propriété peut aussi se déduire du théorème de Ménélaüs et du théorème de Ceva, ou permettre de déduire l'un de ses théorèmes à partir de l'autre, voir ce dernier article.
La droite de Newton
Les milieux des trois diagonales sont alignés sur une droite appelée droite de Newton.
Théorème de Miquel
les cercles circonscrits aux triangles (EAD), (EBC), (FAB) et (FDC) sont concourants.
