Racine carrée
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Notion algébrique générale

Soient x et a deux éléments d’un anneau A, tels que x2=a. L'élément x est alors une racine carrée de a. En général (notamment si l'anneau n'est pas intègre, ou s'il n'est pas commutatif), un élément peut avoir plus de deux racines carrées.

Les racines carrées de nombres complexes

La racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré vaut x. On le note ou x½; dans cette expression, x est appelé le radicande.) sur \R est définie seulement pour les nombres positifs. Dans la résolution effective des équations polynomiales, l’introduction d’une racine carrée formelle d’un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) négatif dans les calculs intermédiaires donne des résultats exacts. C’est ainsi que le corps des nombres complexes a été introduit

Pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) nombre complexe non nul z = a + ib (avec a et b réels), il existe exactement deux nombres complexes w tels que w2 = z. Ils sont opposés l'un de l'autre.

  • Si b est non nul, ils sont données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) par :
w=\pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}}+ i\ \operatorname{signe}(b)\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}\right),
avec \operatorname{signe}(b)=\frac{b}{|b|}.
  • Si b est nul et a est négatif, cette formule se simplifie en :
w=\pm i\sqrt{|a|}.
  • Par ailleurs, si z n'est pas un réel négatif (i.e. si b est non nul ou si a est positif),
w=\pm\frac{z+|z|}{\sqrt{2(a+|z|)}}.

Pour des raisons de nature topologique, il est impossible de prolonger la fonction racine carrée \mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+ en une fonction continue f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C} vérifiant f(z)2 = z. (Pour plus de détails, voir Racine d'un nombre complexe.)

On appelle détermination de la racine carrée sur un ouvert U de \mathbb{C} toute fonction continue f:U\rightarrow \mathbb{C} vérifiant f(z)2 = z.

La détermination principale de la racine carrée est la fonction \mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C} ainsi définie : si z s’écrit sous forme trigonométrique  z=r e^{i\varphi} avec -\pi < \varphi \le \pi\,, alors on pose f(z)=\sqrt{r} e^{\frac{i\varphi}{2}}. Cette détermination principale n’est continue en aucun point (Graphie) de la demi-droite (Une demi-droite est comme son nom l’indique la moitié d’une droite, à savoir l’ensemble des points d’une droite à partir d'un point M de celle-ci. Par exemple la...) des réels strictement négatifs, et est holomorphe sur son complémentaire.

Quand le nombre est dans sa forme algébrique z=a+ib, cette définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) se traduit par :

f(a+ib)= \sqrt{\frac{\left|a+ib\right| + a} {2}} \pm i\sqrt{\frac{\left|a+ib\right| - a} {2}}

où le signe de la partie imaginaire de la racine est

  • si b\ne 0 : le signe de b
  • si b = 0 et a < 0 : le signe +
  • si b = 0 et a\ge 0 : pas de signe (le nombre est nul).

Notons qu’à cause de la nature discontinue de la détermination principale de la racine carrée dans le plan complexe (En mathématiques, le plan complexe (encore appelé plan de Cauchy) désigne un plan dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique.), la relation \sqrt{zz'}=\sqrt{z}\sqrt{z'} devient fausse en général.

Les racines carrées de matrices et d’opérateurs

Si A est une matrice symétrique (ce qui exige que A soit une matrice carrée.) définie positive ou un opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) autoadjoint défini positif en dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...) finie, alors il existe exactement une matrice symétrique définie positive ou un opérateur autoadjoint défini positif B tel que B2 = A. On pose alors : √A = B.

Plus généralement, pour toute matrice normale (En algèbre linéaire, une matrice A est une matrice normale si elle vérifie l'égalité suivante: A.A * = A * .A, avec A * la matrice adjointe de A. Toutes les matrices hermitiennes sont normales.) ou tout opérateur normal en dimension finie A, il existe des opérateurs normaux B tels que B2 = A. Cette propriété se généralise à tout opérateur borné normal sur un espace de Hilbert (Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme découle d'un produit scalaire ou hermitien par la formule . C'est la généralisation en dimension...).

En général, il y a plusieurs tels opérateurs B pour chaque A et la fonction racine carrée ne peut pas être définie pour les opérateurs normaux d’une façon satisfaisante (continue par exemple). Les opérateurs définis positifs sont apparentés à des nombres réels positifs, et les opérateurs normaux sont apparentés à des nombres complexes. Les articles sur la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée...) des opérateurs développent davantage ces aspects.

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