Vendredi 2 Mai 2025
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Rotateur rigide - Définition

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
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- Introduction - Rotateur linéaire - Rotateur rigide à forme arbitraire

Rotateur rigide à forme arbitraire

Un rotateur rigide à forme arbitraire est un corps rigide de forme arbitraire à centre de masse fixe (ou se mouvant de manière uniforme et rectiligne) dans un espace \mathbb{R}^3 sans champ. Son énergie est alors la seule énergie cinétique de rotation (et l'énergie de translation constante que l'on peut ignorer). Un corps rigide peut être (partiellement) caractérisé par les trois valeurs propres de son tenseur de moment d'inertie, qui sont des réels positifs connus sous le nom de moments d'inertie principaux.

En spectroscopie microonde - spectroscopie basée sur les transitions rotationnelles - on classe habituellement les molécules (perçues comme rotateurs rigides) de la manière suivante :

  • rotateurs sphériques
  • rotateurs symétriques
    • rotateurs symétriques oblates (aplatis)
    • rotateurs symétriques prolates (allongés)
  • rotateurs asymétriques

Cette classification dépend des valeurs relatives de leurs moments d'inertie principaux.

Coordonnées du rotateur rigide

Les différentes branches de la physique et de l'ingéniérie utilisent différentes coordonnées pour la description de la cinématique d'un rotateur rigide. En physique moléculaire, on utilise quasi-exclusivement les angles d'Euler. Dans les applications de la mécanique quantique, il est pertinent d'utiliser des angles d'Euler dans une convention qui est une extension simple des conventions des coordonnées sphériques.
La première étape consiste à lier un référentiel orthonormé direct (système tridimensionnel d'axes orthogonaux et normés) au rotateur (référentiel lié). Ce référentiel peut être attaché arbitrairement au corps, mais on peut utiliser également les axes principaux — les vecteurs propres normalisés du tenseur d'inertie, qui peuvent toujours être choisis orthonormaux (le tenseur étant symétrique). Lorsque le rotateur possède un axe de symétrie, celui coïncide habituellement avec l'un des axes principaux. Il est pratique de choisir un référentiel lié dans lequel l'axe z est l'axe de la symétrie d'ordre le plus élevé.

On commence par aligner le référentiel lié avec un référentiel fixe (dit du laboratoire) de telle façon que les axes x, y et z coïncident avec les axes X, Y et Z du référentiel du laboratoire (les axes sont dans les plans adéquats). Puis le solide et son référentiel sont pivotés d'un angle positif \alpha\, autour de l'axe z (selon la règle de la main droite pour une rotation directe), ce qui déplace l'axe y vers l'axe y'. Puis, on pivote le solide et son référentiel d'un angle positif \beta\, autour de l'axe y'. L'axe z du référentiel lié a, après ces deux rotations, l'angle longitudinal \alpha \, (désigné communément par \varphi\, ) et l'angle de colatitude \beta\, (désigné communément par \theta\, ) par rapport au référentiel du laboratoire. Si le rotateur est de symétrie cylindrique autour de son axe z, comme le rotateur rigide linéaire, son orientation spatiale est alors non-ambigüe à ce moment.

Si le solide ne possède pas de symétrie cylindrique (axiale), une dernière rotation autour de son axe z (avec pour coordonnées polaires \beta\, et \alpha\, ) est nécessaire afin de spécifier son orientation de manière non-ambigüe. Traditionnellement, le dernier angle est appelé \gamma\, .

La convention sur les angles d'Euler décrite ici est connue sous le nom de convention z'' − y' − z ; on peut montrer (de manière relativement simple) que c'est équivalent à la convention z − y − z dans laquelle l'ordre des rotations est inversée.

La matrice correspondant aux trois rotations est le produit matriciel :

\mathbf{R}(\alpha,\beta,\gamma)= \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha & 0 \\ \sin\alpha & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\beta & 0 & \sin\beta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\beta & 0 & \cos\beta \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\gamma & -\sin\gamma & 0 \\ \sin\gamma & \cos\gamma & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Soit \mathbf{r}(0) le vecteur position d'un point arbitraire \mathcal{P} dans le corps par rapport au repère lié au corps rigide. Les éléments de \mathbf{r}(0) sont les coordonnées liées au corps de \mathcal{P} . À l'origine, \mathbf{r}(0) est aussi le vecteur coordonnées de \mathcal{P} dans le référentiel fixe. Par rotation du corps, les coordonnées liées au corps de \mathcal{P} ne sont pas modifiées, mais le vecteur coordonnées de \mathcal{P} dans le référentiel fixe devient :

\mathbf{r}(\alpha,\beta,\gamma)= \mathbf{R}(\alpha,\beta,\gamma)\mathbf{r}(0).

En particulier, si \mathcal{P} est initialement sur l'axe Z du repère fixe, il a les coordonnées :

\mathbf{R}(\alpha,\beta,\gamma) \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ r \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} r \cos\alpha\sin\beta \\ r \sin\alpha \sin\beta \\ r \cos\beta \\ \end{pmatrix},

qui montre la correspondance entre les coordonnées sphériques (en convention physique).

La connaissance des angles d'Euler comme fonction du temps t et les coordonnées initiales \mathbf{r}(0) définissent la cinématique du rotateur rigide.

Énergie cinétique classique

On postulera à partir d'ici que le référentiel lié est un référentiel avec les axes principaux. Cela diagonalise le tenseur inertiel instantané \mathbf{I}(t) (exprimé en fonction du référentiel du corps rigide), i.e.,

\mathbf{R}(\alpha,\beta,\gamma)^{-1}\; \mathbf{I}(t)\; \mathbf{R}(\alpha,\beta,\gamma) = \mathbf{I}(0)\quad\hbox{avec}\quad \mathbf{I}(0) = \begin{pmatrix} I_1 & 0 & 0 \\ 0 & I_2 & 0 \\ 0 & 0 & I_3 \\ \end{pmatrix},

où les angles d'Euler sont dépendant du temps et détermine de fait la dépendance temporelle de \mathbf{I}(t) par équation inverse. Cette notation implique que à t = 0, les angles d'Euler sont nuls, et qu'à t = 0 le référentiel lié coïncide avec le référentiel du laboratoire.

L'énergie cinétique classique T du rotateur rigide peut être exprimée de plusieurs manières :

Chacune de ces formes possède son utilité et peut être trouvée dans la littérature. On les présente ci-après.

En fonction de la vitesse angulaire

T s'écrit en fonction de la vitesse angulaire :

T = \frac{1}{2} \left[ I_1 \omega_x^2 + I_2 \omega_y^2+ I_3 \omega_z^2 \right]

avec

\begin{pmatrix} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sin\beta\cos\gamma & \sin\gamma & 0 \\ \sin\beta\sin\gamma & \cos\gamma & 0 \\ \cos\beta & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dot{\alpha} \\ \dot{\beta} \\ \dot{\gamma} \\ \end{pmatrix}.

Le vecteur \boldsymbol{\omega} = (\omega_x, \omega_y, \omega_z) contient les composantes de la vitesse angulaire du rotateur exprimée en fonction du repère lié. On peut montrer que \boldsymbol{\omega} n'est pas une dérivée temporelle d'un vecteur, contrairement à la définition classique de la vitesse. Les points au-dessus des angles d'Euler dépendant du temps indiquent les dérivées temporelles. La vitesse angulaire satisfait aux équations du mouvement connues sous le nom d'équations d'Euler (avec un couple appliqué nul, le rotateur étant supposé dans un espace sans champ).

Sous forme lagrangienne

La substitution de \boldsymbol{\omega} par son expression dans T donne la forme lagrangienne (comme fonction des dérivées temporelles des angles d'Euler). En notation matrice/vecteur :

2 T = \begin{pmatrix} \dot{\alpha} & \dot{\beta} & \dot{\gamma} \end{pmatrix} \; \mathbf{g} \; \begin{pmatrix} \dot{\alpha} \\ \dot{\beta} \\ \dot{\gamma}\\ \end{pmatrix},

où \mathbf{g} est le tenseur métrique exprimé en fonction des angles d'Euleur — un système non-orthogonal de coordonnées curvilignes :

\mathbf{g}= \begin{pmatrix} I_1 \sin^2\beta \cos^2\gamma+I_2\sin^2\beta\sin^2\gamma+I_3\cos^2\beta & (I_2-I_1) \sin\beta\sin\gamma\cos\gamma & I_3\cos\beta \\ (I_2-I_1) \sin\beta\sin\gamma\cos\gamma & I_1\sin^2\gamma+I_2\cos^2\gamma & 0 \\ I_3\cos\beta & 0 & I_3 \\ \end{pmatrix}.

En fonction du moment angulaire

L'énergie cinétique est parfois écrite comme une fonction du moment angulaire \vec{L} du rotateur rigide. Ce vecteur est une quantité conservative (indépendante du temps). Dans le référentiel lié au corps rigide, il a pour composantes \mathbf{L} , dont on peut démontrer qu'elles sont liées à la vitesse angulaire :

\mathbf{L} = \mathbf{I}(0)\; \boldsymbol{\omega}\quad\hbox{ou}\quad L_i = \frac{\partial T}{\partial\omega_i},\;\; i=x,\,y,\,z.

Puisque le référentiel lié se déplace (dans le temps), ces composantes ne sont pas indépendantes du temps. Si l'on considère \vec{L} dans le référentiel fixe, on trouve alors des expressions indépendantes du temps pour ses composantes. L'énergie cinétique est donnée par :

T = \frac{1}{2} \left[ \frac{L_x^2}{I_1} + \frac{L_y^2}{I_2}+ \frac{L_z^2}{I_3}\right].

Sous forme hamiltonienne

La forme hamiltonienne de l'énergie cinétique s'écrit en termes de moments généralisés :

\begin{pmatrix} p_\alpha \\ p_\beta \\ p_\gamma \\ \end{pmatrix} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \begin{pmatrix} \partial T/{\partial \dot{\alpha}}\\ \partial T/{\partial \dot{\beta}} \\ \partial T/{\partial \dot{\gamma}} \\ \end{pmatrix} = \mathbf{g} \begin{pmatrix} \; \, \dot{\alpha} \\ \dot{\beta} \\ \dot{\gamma}\\ \end{pmatrix},

où on pose \mathbf{g} symétrique. Dans la forme hamiltonienne, l'énergie cinétique est :

2 T = \begin{pmatrix} p_{\alpha} & p_{\beta} & p_{\gamma} \end{pmatrix} \; \mathbf{g}^{-1} \; \begin{pmatrix} p_{\alpha} \\ p_{\beta} \\ p_{\gamma}\\ \end{pmatrix},

où le tenseur métrique inverse est donné par :

{\scriptstyle \sin^2\beta}\;\;\mathbf{g}^{-1}=
\begin{pmatrix} \frac{\cos^2\gamma}{I_1}+\frac{\sin^2\gamma}{I_2} & \left(\frac{1}{I_2}-\frac{1}{I_1}\right){\scriptstyle \sin\beta\sin\gamma\cos\gamma}& -\frac{\cos\beta\cos^2\gamma}{I_1}-\frac{\cos\beta\sin^2\gamma}{I_2} \\ \left(\frac{1}{I_2}-\frac{1}{I_1}\right){\scriptstyle \sin\beta\sin\gamma\cos\gamma}& \frac{\sin^2\beta\sin^2\gamma}{I_1}+\frac{\sin^2\beta\cos^2\gamma}{I_2} & \left(\frac{1}{I_1}-\frac{1}{I_2}\right){\scriptstyle \sin\beta\cos\beta\sin\gamma\cos\gamma}\\ -\frac{\cos\beta\cos^2\gamma}{I_1}-\frac{\cos\beta\sin^2\gamma}{I_2} & \left(\frac{1}{I_1}-\frac{1}{I_2}\right){\scriptstyle \sin\beta\cos\beta\sin\gamma\cos\gamma} & \frac{\cos^2\beta\cos^2\gamma}{I_1}+ \frac{\cos^2\beta\sin^2\gamma}{I_2}+\frac{\sin^2\beta}{I_3} \\ \end{pmatrix}.

Ce tenseur inverse est nécessaire à l'obtention de l'opérateur de Laplace-Beltrami, qui (multiplié par -\hbar^2 ) donne l'opérateur d'énergie quantique du rotateur rigide.

Le hamiltonien classique donné ci-dessus peut être réécrit dans la forme suivante, qui est nécessaire pour l'intégration de phase se produisant dans la mécanique statistique classique des rotateurs rigides,

\begin{array}{lcl} T &=& \frac{1}{2I_1 \sin^2\beta} \left( (p_\alpha- p_\gamma\cos\beta)\cos\gamma -p_\beta \sin\beta\sin\gamma \right)^2 \\ &&+ \frac{1}{2I_2 \sin^2\beta} \left( (p_\alpha- p_\gamma\cos\beta)\sin\gamma +p_\beta \sin\beta\cos\gamma \right)^2 + \frac{p_\gamma^2}{2I_3}. \\ \end{array}

Le rotateur rigide en mécanique quantique

Comme d'habitude, la quantification est assurée par le remplacement des moments généralisés par des opérateurs donnant les dérivées premières par rapport à ses variables (positions) canoniquement conjuguées. Ainsi,

p_\alpha \longrightarrow -i \hbar \frac{\partial}{\partial \alpha}

et de même pour pβ et pγ. Il est à noter que cette loi remplace la fonction des trois angles d'Euler, de leurs dérivées temporelles et des moments d'inertie caractérisant le rotateur rigide, pα relativement complexe, par un simple opérateur différentiel qui ne dépend pas du temps ou des moments d'inertie et qui porte sur un angle d'Euler seulement.

La loi de quantification est suffisante pour obtenir les opérateurs correspondant aux moments angulaires classiques. Il y en a deux types : les opérateurs de moment angulaire liés au référentiel absolu ou liés au référentiel lié au corps rigide. Les deux sont des opérateurs vectoriels, c'est-à-dire que tous les deux possèdent trois composantes qui se transforment les unes en les autres par rotation de leurs référentiels respectifs. La forme explicite des opérateurs de moment angulaire du rotateur rigide est donnée ici (au facteur multiplicatif \hbar près). Les opérateurs de moment angulaire pour le référentiel lié au corps rigide sont écrits sous la forme \hat{\mathcal{P}}_i . Ils satisfont aux conditions de commutation anomale.

La règle de quantification n'est pas suffisante pour obtenir l'opérateur d'énergie cinétique à partir du hamiltonien classique. Classiquement pβ commutant avec cosβ, sinβ et les inverses de ces fonctions, la position de ces fonctions trigonométriques dans le hamiltonien classique est arbitraire. Après la quantification, la commutation n'est plus permise et l'ordre des opérateurs et fonctions dans le hamiltonien (opérateur d'énergie) devient cruciale. Podolsky indiqua en 1928 que l'opérateur de Laplace-Beltrami (multiplié par -\tfrac{1}{2}\hbar^2 ) possède la forme appropriée pour l'opérateur quantique d'énergie cinétique. Cet opérateur a la forme générale (convention de sommation : la somme se fait sur les indices répétés — dans ce cas sur les trois angles d'Euler q^1,\,q^2,\,q^3 \equiv \alpha,\,\beta,\,\gamma ) :

\hat{H} = - \tfrac{\hbar^2}{2}\;|g|^{-1/2} \frac{\partial}{\partial q^i} |g|^{1/2} g^{ij} \frac{\partial}{\partial q^j},

où | g | est le déterminant du tenseur g :

|g| = I_1\, I_2\, I_3\, \sin^2 \beta \quad \hbox{et}\quad g^{ij} = (\mathbf{g}^{-1})_{ij}.

Étant donnée -dessus l'inverse du tenseur métrique, la forme explicite de l'opérateur d'énergie cinétique en termes des angles d'Euler s'ensuit par simple substitution. L'équation aux valeurs propres correspondantes fournit l'équation de Schrödinger pour le rotateur rigide sous la forme qui fut résolue pour la première fois par Kronig et Rabi (pour le cas spécifique du rotateur symétrique). C'est l'un des rares cas pour lesquels l'équation de Schrödinger peut être résolue de manière analytique. Tous ces cas furent résolus dans l'année de la formulation de cette équation.

Il est actuellement habituel de procéder comme il suit. On peut montrer que \hat{H} peut être exprimé en opérateurs de moment angulaire dans le repère lié au corps rigide (dans cette démonstration les commutations d'opérateurs différentiels avec les fonctions trigonométriques devront être effectués avec attention). Le résultat a la même forme que la formule classique exprimée dans les coordonnées du référentiel lié :

\hat{H} = \tfrac{1}{2}\left[ \frac{\mathcal{P}_x^2}{I_1}+ \frac{\mathcal{P}_y^2}{I_2}+ \frac{\mathcal{P}_z^2}{I_3} \right].

L'action de \hat{\mathcal{P}}_i sur la matrice D de Wigner est simple. En particulier :

\mathcal{P}^2\, D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)^* = \hbar^2 j(j+1) D^j_{m'm}(\alpha,\beta,\gamma)^* \quad\hbox{avec}\quad \mathcal{P}^2= \mathcal{P}^2_x + \mathcal{P}_y^2+ \mathcal{P}_z^2,

donc l'équation de Schrödinger pour le rotateur sphérique (I = I1 = I2 = I3) est résolue pour l'énergie (2j + 1)2-dégénérée et égale à \tfrac{\hbar^2 j(j+1)}{2I} .

La toupie symétrique (un rotateur symétrique) est caractérisée par I1 = I2. C'est une toupie prolate (en forme de cigare) si I3 < I1 = I2. Dans ce dernier cas, on écrit le hamiltonien :

\hat{H} = \tfrac{1}{2}\left[ \frac{\mathcal{P}^2}{I_1}+ \mathcal{P}_z^2\Big(\frac{1}{I_3} -\frac{1}{I_1} \Big) \right],

et on utilise :

\mathcal{P}_z^2\, D^j_{m k}(\alpha,\beta,\gamma)^* = k^2\, D^j_{m k}(\alpha,\beta,\gamma)^*.

Alors,

\hat{H}\,D^j_{m k}(\alpha,\beta,\gamma)^* = E_{jk} D^j_{m k}(\alpha,\beta,\gamma)^* \quad \hbox{avec}\quad E_{jk} = \frac{j(j+1)}{2I_1} + k^2\left(\frac{1}{2I_3}-\frac{1}{2I_1}\right).

La valeur propre Ej0 est dégénérée 2j + 1 fois, pour toutes les fonctions propres avec m=-j,-j+1,\dots, j ayant la même valeur propre. Les énegies avec |k| > 0 sont dégénérées 2(2j + 1) fois. Cette solution exacte de l'équation de Schrödinger pour la toupie symétrique fut trouvée pour la première fois en 1927.

Le problème de la toupie asymétrique ( I_1 \ne I_2 \ne I_3 ) n'est pas soluble de manière exacte.

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