Opérateur de Laplace-Beltrami - Définition

Introduction

L'opérateur de Laplace-Beltrami est une généralisation de l'opérateur laplacien aux variétés riemanniennes. On part de la définition classique , et l'on est ramené à définir la divergence et le gradient dans le cadre riemannien.

Avertissement : Dans cet article, on utilise la convention de sommation d'Einstein. Même quand le signe somme n'est pas omis, on s'impose la discipline de ne sommer que par rapport à un indice se trouvant à la fois en positions inférieure et supérieure.

Divergence associée à une forme volume

Sur une variété différentielle M orientable, la divergence est naturellement associée à une forme volume. Si ω est une telle forme, toute autre forme de degré maximum s'écrit de façon unique fω, où f est une fonction. Cela s'applique à la dérivée de Lie de ω par rapport à un champ de vecteurs X. La divergence de X (par rapport à ω) est l'unique fonction telle que .

D'après la formule , on a . Donc, d'après la formule de Stokes, si X est à support compact,

Si ω s'écrit en cordonnées locales , on a

(car est une dérivation).

Si , on a , d'où l'on tire , et finalement, .

Remarque sur l'orientabilité  : L'introduction d'une forme volume suppose la variété orientable. Mais si on change la forme volume ω en son oppposée, div_ωX) ne change pas. En fait, la divergence ne dépend que de la densité associée à ω. Contrairement aux apparences, l'hypothèse d'orientabilté est inutile, on a en fait utilisé une orientation locale.

L'exemple le plus important est celui de la divergence définie par la forme volume canonique d'une métrique riemannienne.

En coordonnées locales . D'après la remarque qui précède, il n'est nullement nécessaire de supposer la variété orientable. Le déterminant des g_ij est souvent noté g, notamment par ceux qui écrivent ds² la métrique riemannienne, cela ne porte pas trop à confusion.

Définition et propriétés de base du laplacien

On définit l'opérateur de Laplace-Beltrami comme l'opérateur différentiel du second ordre .

En coordonnées locales,

Si f₁ et f₂ sont C² et à support compact on a

Pour le voir, on remarque que si f est une fonction et X un champ de vecteurs,

En appliquant cette relation à f = f₁ et , on obtient

puisque d'après la formule de Stokes l'intégrale de la divergence d'un champ de vecteurs à support compact est nulle.

Cette formule exprime le fait que Δ est un opérateur formellement autoadjoint sur , par rapport au produit scalaire global, défini par

(noter l'analogie avec les opérateurs symétriques en dimension finie.

est négatif ou nul. L'opérateur − Δ est positif (c'est la raison pour laquelle beaucoup de géomètres riemanniens définissent l'opérateur de Laplace comme ). Enfin, si M est une variété compacte sans bord, les seules fonctions à Laplacien nul sont les constantes (de même que les seules fonctions harmoniques sur un domaine compact de , nulles au bord sont les constantes, la preuve est d'ailleurs la même).

Gradient associé à une métrique riemannienne

Le gradient d'une fonction (disons lisse) f est l'unique champ de vecteurs, noté , tel que pour tout champ de vecteurs X. En coordonnées locales,

Ici, g^ij(x) est l'inverse du tenseur métrique, défini en coordonnées par

où est le symbole de Kronecker.

Bibliographie

• Peter Sarnak ; Spectra of hyperbolic surfaces, Bulletin of the American Mathematical Society 40 (2003), 441-478. Texte disponible en ligne.
• Isaac Chavel, Eigenvalues in Riemannian geometry, Academic Press.