Cinématique
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Introduction

En physique, la cinématique est la discipline de la mécanique qui étudie le mouvement des corps, en faisant abstraction des causes du mouvement (celles-ci sont généralement modélisées par des forces et des moments). Elle utilise la géométrie analytique (La géométrie analytique est une approche de la géométrie dans laquelle on représente les objets par des équations ou inéquations. Le plan ou l'espace est nécessairement muni d'un repère.).

On peut dater la naissance de la cinématique (En physique, la cinématique est la discipline de la mécanique qui étudie le mouvement des corps, en faisant abstraction des causes du...) moderne à l'allocution de Pierre Varignon (Pierre Varignon, né à Caen en 1654 et mort à Paris le 23 décembre 1722, était un mathématicien français.) le 20 janvier 1700 devant l'académie (Une académie est une assemblée de gens de lettres, de savants et/ou d'artistes reconnus par leurs pairs, qui a pour mission de veiller aux usages dans...) royale des sciences de Paris (Paris est une ville française, capitale de la France et le chef-lieu de la région d’Île-de-France. Cette ville est construite sur une boucle de la Seine, au...). À cette occasion il définit la notion d'accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique, plus précisément en cinématique,...) et montre comment il est possible de la déduire de la vitesse (On distingue :) instantanée à l'aide d'une simple procédure de calcul différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de rotation de façon adaptative aux besoins d'un ensemble...).

Définitions de base

Il faut d'abord définir un référentiel, c'est-à-dire un repère de l’espace et une référence pour le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.), une horloge ; on utilise en général le référentiel lié au laboratoire, par exemple dont les axes suivent les arêtes des murs de la pièce, ou bien celle de la table, ou encore les directions géographiques Nord-Sud, Est-Ouest et haut-bas (si le laboratoire est immobile par rapport au sol). L'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut...) de base est le point, dont les dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...) nulles, et qui est défini par ses coordonnées M(x,y,z,t).

Concrètement, cet objet physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans...) défini par quatre paramètres représente soit un objet de petite taille (particule, petite bille), soit un objet de grande taille dont on néglige les effets de rotation sur lui-même ; nous appellerons cet objet le mobile. On ne s’intéresse alors qu'au mouvement dans l'espace du centre d’inertie de ce mobile. Le centre d’inertie d'un objet est encore appelé centre de masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la...) ou centre de gravité (Le centre de gravité est le point d'application de la résultante des forces de gravité ou de pesanteur. Il est également le point d'intersection...).

Les coordonnées définissent le vecteur-position, qui dépend ainsi de la position et du temps.

Le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur, à...) obtenu en dérivant les coordonnées par rapport au temps définit le vecteur-vitesse. Le vecteur vitesse est indépendant du choix du point origine.

\vec{v} = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial t} \\ \frac{\partial y}{\partial t} \\ \frac{\partial z}{\partial t} \end{pmatrix}

Le vecteur obtenu en dérivant les composantes du vecteur vitesse par rapport au temps définit le vecteur-accélération

\vec{a} = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 x}{\partial t^2} \\ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} \\ \frac{\partial^2 z}{\partial t^2} \end{pmatrix}

La mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, ...), bref, de tout ce qui produit ou...) du point permet de prévoir la position en fonction du temps, à partir de la vitesse initiale et des forces.

L'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre...) horaire du mouvement

\left\{\begin{matrix} x = f_1 (t) \\ y = f_2 (t) \\ z = f_3 (t) \end{matrix}\right.

correspond à l’équation paramétrique d'une courbe ; on peut souvent réduire ceci à un système d’équations cartésiennes

g_i (x,y,z) = 0\,

qui, dans le cas le plus simple, sont du type linéaire

ax + by + cz + d = 0\,

Cette courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les...) est l’ensemble des points par où passe le centre d'inertie (L'inertie d'un corps découle de la nécessité d'exercer une force sur celui-ci pour modifier sa vitesse (vectorielle). Ainsi, un corps immobile ou en mouvement rectiligne uniforme (se...) du mobile. On définit alors l’abscisse curviligne, notée s, la distance parcourue sur la courbe par rapport à un point de référence (la position du centre d'inertie du mobile à t = 0). Pour un petit déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles orientés. En psychanalyse, le déplacement est mécanisme de...) de M(x, y, z) à M'(x + dx, y + dy, z + dz), l'abscisse curviligne est assimilable à un segment, d'où :

\mathrm ds = \sqrt{{\mathrm dx}^2 + {\mathrm dy}^2 + {\mathrm dz}^2} = \sqrt{{\dot{x}}^2 + {\dot{y}}^2 + {\dot{z}}^2}\mathrm dt
On a donc s = \int_{A}^{B}{\sqrt{{\dot{x}}^2 + {\dot{y}}^2 + {\dot{z}}^2}\mathrm dt}.

La notion commune de vitesse est en fait la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément,...) de l'abscisse curviligne. On parle souvent de vitesse scalaire :

v = \frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}

On a en fait

\|\vec{v}\| = \frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}
Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) de l'abscisse curviligne

On ne considère en général, pour simplifier l'étude, que des mouvements plans (que le plan soit horizontal (Horizontal est une orientation parallèle à l'horizon, et perpendiculaire à la verticale. Une ligne horizontale va « de la gauche...), vertical (Le vertical (rare), ou style vertical, est un style d’écriture musicale consistant en accords plaqués.) ou incliné). On définit donc un repère (O,x,y)\, dans ce plan, ce qui permet de ne travailler qu'avec deux coordonnées.

Pour simplifier les calculs, on définit souvent un repère local dit « de Frenet » pour chaque instant ; en un point de la courbe, l'axe des x\, est la tangente à la courbe et orienté dans le sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution...) du mouvement, et l'axe des y est la normale à la courbe orienté de sorte que le repère soit direct. Ce n'est pas un référentiel mobile par rapport au référentiel de l'étude, c'est un repère « jetable », défini juste à un instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas intervalle de temps. Il ne peut donc être considéré comme une durée.) t pour simplifier l'écriture des grandeurs à cet instant donné. Le référentiel reste celui du laboratoire, seule change la manière dont on exprime les composantes des vecteurs.

Définition du repère de Frenet
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