Saturation des inégalités d'Heisenberg - Définition
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Inégalité d'Heisenberg radiale
Afin de pouvoir traiter l'atome d'hydrogène, on va introduire l' inégalité d'Heisenberg radiale, ce qui est relativement moins étudié dans la littérature.
On considère uniquement les états s , à symétrie radiale.
- Soit R l'opérateur tel que R² = X² + Y² + Z² := X1² + X2² + X3², en changeant de notation afin de pouvoir éventuellement généraliser (idem pour P )
Le commutateur de P1 et de R est [P1, R] = -i X1/r ( on a pris
Et donc on reconnaît la dérivation usuelle : [P1,g(R)] = -i (X1/r).g'(R).
- Soit A1 l'opérateur A1 := P1 + k X1.f(R), k réel , f(r) aussi.
Soit N l'opérateur N := A1*. A1 + A2*. A2 + A3*. A3 (parce qu'on pense à la généralisation de l'opérateur nombre de bosons)
Le calcul donne : N = P² +k².r².f(R)² + k (3f(R) + R.f'(R)), opérateur positif pour tout k.
D'où l' inégalité d'Heisenberg radiale pour les états s de symétrie radiale :
, pour toute f(r) réelle.
En saturation, on retrouve bien les résultats précédents de l'oscillateur 3D, en prenant f(r)=1.
Si f(r) = r^k, on trouve :
avec la même limitation qu'en mécanique classique: k > -3.
Application à l'oscillateur 3D
Dans le cas du potentiel 1/2 k (x² + y² + z²), il est clair que la séparation des variables donne immédiatement la fonction d'onde :
![\psi(x,t) = N e^{-[3r^2/4 r_0^2]} e^{-\frac{3 i \omega t}{2}}](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/7/710902b97aa51679d14685f0025d6e4d_34fa4421167e2197c5f4c71e1179f36d.png)
Compléments sur l'Énergie cinétique radiale
Ce paragraphe se place dans le cadre des précédentes réflexions, où la non-commutativité joue un rôle crucial.
L'opérateur impulsion vaut, d'après Dirac,
L'opérateur énergie cinétique s'écrit donc :
L'habitude est de séparer l'opérateur P² en deux opérateurs quand le champ est central, en faisant intervenir l'opérateur moment cinétique L et l'opérateur impulsion-radiale Pr et il convient d'être très prudent :
étant précisé que L.P = 0 et L.r = 0 en tant qu'opérateurs.
L'opérateur P²r agit sur une fonction d'onde découplée S(r)/r . f( θ,φ) comme -
Le calcul de l'opérateur dr/dt est donné par le théorème usuel :
avec
![[r, P_r^2] = 2 i \hbar P_r](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/4/4991b507f881a7daa5bca205cdbe9e43_96e4704524c1380698dc928e9f00a81b.png)
dr/dt = Pr/m , ce qui est somme toute assez facile à retenir mnémotechniquement.
Si la symétrie radiale est respectée, [L², H] = 0 et dans l'état de moment cinétique l , L² = l(l+1)
ceci conduira à une équation radiale assez simple à mémoriser ( cf atome d'hydrogène).
Mais il reste à expliquer pourquoi tous les calculs se combinent aussi bien. Et de plus , dans le cas coulombien , expliquer la symétrie SO(4) qui donne le vecteur excentricité. Voir aussi vecteur de Runge-Lenz.
Application à l'atome d'hydrogène
Dans le cas du potentiel V(r) = -e²/r, choisir f(r) = 1/r :
L'inégalité d'Heisenberg saturée s'écrit cette fois:
, en appelant a la moyenne harmonique de R (c’est-à-dire la moyenne de l'opérateur 1/R).
- la valeur de k assurant la saturation est juste k = -
- on en déduit que la fonction d'onde est annihilée par A1 := P1 -
![[\frac{d}{dr} + {1 \over a }]\psi(r)=0](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/8/8d99d760a139168338c29cd6ae4ac5a6_b9dc186880f0b30b117033dae857aad1.png)
D'où il résulte que
Il s'agit de la fonction d'onde saturée ( naturellement, on vérifie que <1/R> = 1/a) .
- Energie minimale: l'inégalité d'Heisenberg donne aussi:
E = 
égalité toujours vraie, pour tout état s.
Cette énergie est minimale quand elle est saturée et que a (moyenne harmonique de r) vaut :
(conformément au théorème du viriel).
On a ainsi trouvé ce que ne pouvait pas donner la théorie de l'atome de Bohr (il y avait inexistence des états s) : la non-commutativité et la saturation de l'inégalité d'Heisenberg sont ainsi inscrits au cœur profond de la Mécanique quantique.
Remarque interrogative : y a-t-il une relation avec le fait que c'est <1/r> qui intervient , et le changement de variable de Binet u(t) = 1/r(t) en mécanique classique ?
note, les états cohérents : Plus généralement, il se trouve souvent que les cas de saturation se retrouvent être des états propres de l'hamiltonien. Il y a beaucoup de liens entre cette remarque anodine et la théorie plus sophistiquée des états cohérents.
