Saturation des inégalités d'Heisenberg - Définition

Introduction

Le principe d'incertitude d'Heisenberg en mécanique quantique est lié à un théorème d'inégalité. Cette inégalité est dite saturée quand il y a égalité. Quand cette saturation est vérifiée, l'état | ψ > est souvent intéressant à étudier :

Soit A et B deux opérateurs observables qui ne commutent pas, et iC leur commutateur, et soit A et B centrés, alors au mieux

Rappel de la démonstration du théorème d'inégalité

L'énoncé du théorème est ( cf principe d'incertitude ) :

Soit A et B deux opérateurs observables qui ne commutent pas : alors on ne peut pas mesurer simultanément A et B ! Le manque de précision est relié à leur commutateur iC. L'opérateur C est hermitien, donc est réel. Soit dans l'état | ψ, var(A) la variance de A , et de même var(B), celle de B , l'inégalité se réécrit aussi :

Démonstration :

soit A1 l'observable centrée := A -  ; var(A)= .(idem pour B1)

Retrouver une gaussienne n'est pas trop étonnant; mais une faille importante s'introduit dans la dépendance temporelle, à cause de la dispersion inévitable de ψ(x,t) : le paquet d'onde va s'étaler dans le temps. Il faudra donc qu'un potentiel intervienne pour limiter la dispersion : c'est le cas de l'oscillateur harmonique.

Saturation

Il y a saturation si A1 | ψ > = k B1 | ψ > : cet état réalise le minimum d'incertitude.

Par addition , k var(A) +1/k var(B) = 2 qui est nulle dans ce cas (on dit parfois que la corrélation quantique de A et B est nulle); et par soustraction que k var(A) -1/k var(B) = i ,

d'où la valeur de k : k = i/2var(A) = -2var(B)/i ; ce qui permet souvent d'évaluer k.

Alors on dit que A1-k.B1 annihile l'état saturé.

Application à la cuvette 1/n A x^n

A nouveau , l'état fondamental correspondra à la saturation, avec cette caractéristique = 1/4 . /m v(X). et le théorème du viriel donnera /n-1 = = Eo/n ; ce qui donne ( ne serait-ce que par analyse dimensionnelle):

• 
• 
• le paquet d'onde "saturé" reste donc gaussien .

Application à l'oscillateur harmonique

Dans le cas du potentiel 1/2 K x²,on a toujours

var(X).var(P) = 1/4 ,

Donc l'énergie E = 1/2 K.var(X)+1/2 var(P)/m est bornée inférieurement par:

.

• pour la saturation, E= Eo et l'opérateur d'annihilation donnera encore un paquet d'onde gaussien, mais cette fois la variance est indépendante du temps et on a:

.

• Ce paquet d'onde est stationnaire( l'Énergie est parfaitement connue) et s'étale dans le fond de la cuvette de potentiel; son gradient donne une énergie cinétique moyenne , moitié de l'énergie Eo.
• Remarque: le théorème du viriel, aussi, donne = = Eo/2.
• Ordre de grandeur : dans le cas d'une molécule diatomique covalente, la distance d(A-B) varie toujours un peu à cause de la fluctuation quantique, d'une grandeur dont la variance est, on l'a vu , = , où ici m est la masse réduite de A et de B , et K la raideur de la liaison covalente ( typiquement donnée par 2V"(x=d), où V(x) est le potentiel de Morse du modèle d'interaction covalente, soit K = 13.6eV/(0.52Å)^2 = ~ 2000N/m (cf Ordre de grandeur littéral), ce qui conduit à var(X)~ d² 1/1836. A.B/(A+B): inutile donc de donner les distances interatomiques à mieux que 3% .

• Cas de l'helium :Il existe des cas plus surprenants : supposons que la liaison ne soit pas covalente mais plutôt de Lenard-Jones ( modèle des liaisons de Van der Waals) comme dans un cristal de gaz rare: alors K est bien moins élevée et on peut dans le cas de l'hélium se retrouver avec une vibration quantique à température nulle, var(X) ~ d²/10 : or ce critère est celui de Lindemann, pour la possibilité de diffusion des atomes du cristal : celui perd sa cohésion, c'est un LIQUIDE. Ainsi explique-t-on l'anomalie de l'hélium qui est le seul corps impossible à cristalliser par refroidissement seul: il faudra en quelque sorte "raidir" la valeur de K en appliquant une pression pour obtenir l'hélium stable en phase solide.