Sous-espace vectoriel engendré - Définition

Introduction

Etant donnée une partie (pas nécessairement finie) A d'un espace vectoriel E sur un corps commutatif K, le sous-espace vectoriel engendré par A est exactement le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A. Des définitions équivalentes sont données ci-dessous. L'engendrement par une famille de vecteurs se définit de même en prenant . Par exemple, dans l'espace K[X] des polynômes à une indéterminée sur K, le sous-espace engendré par les monomes X²ⁱ pour i entier est le sous-espace des polynômes de la forme P(X²).

Une famille de vecteurs est dite génératrice si le sous-espace qu'elle engendre est l'espace entier E.

Définitions équivalentes

Soit A une partie (pas nécessairement finie) d'un espace vectoriel E sur un corps commutatif K. Le sous-espace engendré par A peut etre défini comme :

• Le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A, comme dans l'introduction ;
• Ou le sous-ensemble de E des combinaisons linéaires des vecteurs de A.

Ces deux sous-ensembles de E sont égaux : la démonstration doit justifier en particulier que est bien un sous-espace vectoriel de E. Un vecteur appartient à ssi il existe une famille de scalaires à support fini telle que

.

De manière naturelle, est un espace vectoriel. La partie A, contenue dans , est appelée partie génératrice de A, ou ensemble de générateurs de A.

La définition s'étend à une famille quelconque de vecteurs de E. (Les vecteurs v_i peuvent éventuellement être égaux.) Le sous-espace vectoriel engendré par la famille est l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires finies de vecteurs de la famille, noté , est :

où est l'ensemble des entiers naturels. En particulier, Vect(v_i) est le sous-espace vectoriel engendré par la partie . Toutes les combinaisons linéaires écrites ci-dessus portent sur un nombre fini de vecteurs.

Les familles de scalaires à support fini forment un espace vectoriel sur K, noté K^(I). L'addition vectorielle s'effectue composante par composante. Le sous-espace vectoriel engendré par la famille est l'image de l'application linéaire .

Exemples

• L'espace vectoriel réel admet {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} comme ensemble générateur, qui est aussi une base. Un autre ensemble générateur est {(1,2,3),(0,1,2),( − 1,1 / 2,3),(1,1,1)} mais celui-ci n'est pas une base de parce que les vecteurs sont linéairement dépendants. L'ensemble {(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)} n'engendre pas ; au lieu de cela il engendre le sous-espace vectoriel constitué de tous les vecteurs de dont la dernière composante est nulle.
• Dans l'espace vectoriel usuel, , considérons les vecteurs u₁ = (1,0,0) et u₂ = (1,1,0). On a

• Soit . On a

.

Base

Une base de E est une famille génératrice constituée de vecteurs linéairement indépendants. De manière équivalente, une base est une famille génératrice minimale. De toute famille génératrice peut être extraite une sous-famille qui est une base. L'argument repose soit sur une récurrence pour une famille finie, soit sur le lemme de Zorn pour une famille infinie.

Propriétés

• Soient n vecteurs d'un espace vectoriel E. Nous avons

• La dimension d'un espace vectoriel engendré par une famille de n vecteurs est égale à n si et seulement si la famille est libre.
• Pour toutes parties A et A' de E,
  • 
  • .

Théorèmes

Théorème 1: est un sous-espace vectoriel de E. De plus, cet espace vectoriel est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant les vecteurs .

Ce résultat est une des raisons pour lesquelles la notion de sous-espace vectoriel engendré est importante.

Théorème 2: Vect(A) est aussi un sous-espace vectoriel de E. De plus, cet espace vectoriel est le plus petit sous espace-vectoriel de E, contenant A.

Nous n'allons démontrer que le théorème 1. La démonstration du théorème 2 est très similaire, mais un peu plus malaisée à rédiger, puisque les vecteurs de toute combinaison linéaire donnée peuvent être différents.

Démonstration du théorème 1:

Stabilité pour la somme:

Les formes les plus générales possibles pour deux éléments de sont et .

Nous avons à montrer que x + y est aussi une combinaison linéaire de ces vecteurs. En utilisant l'associativité et la commutativité de l'addition ainsi que la distributivité, nous pouvons écrire:

et puisque pour tout i, a_i + b_i est un scalaire de K, nous voyons que x + y est effectivement une combinaison linéaire des vecteurs donnés.

Stabilité pour la multiplication par un scalaire:

Soit c un scalaire et à nouveau considérons une combinaison linéaire de la forme: .

Nous avons à montrer que c.x est aussi une combinaison linéaire de ces vecteurs.

Nous avons

et puisque pour tout i, c.a_i est aussi un scalaire le résultat est acquis.

est non vide.

Le vecteur nul de E, 0_E est une combinaison linéaire de puisque nous pouvons écrire:

(Ici, 0_K est l'élément neutre additif du corps K.)

Cette dernière relation est bien vraie, parce que dans tout espace vectoriel nous avons .

Minimalité:

Supposons que F soit un autre sous-espace vectoriel de E contenant les vecteurs .

Alors F est stable pour la multiplication et l'addition des vecteurs, ainsi nous pouvons démontrer par une récurrence finie sur le nombre de vecteurs que pour tous scalaires , est un élément de F. Ainsi, , l'ensemble de telles combinaisons linéaires est une sous-ensemble de F.