Théorèmes de Sylow - Définition

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- Introduction - Définition - Exemples, applications - Les théorèmes de Sylow - Autres démonstrations - Démonstrations

Introduction

En théorie des groupes, les théorèmes de Sylow forment une réciproque partielle du théorème de Lagrange, d'après lequel, si H est sous-groupe d'un groupe fini G, alors l'ordre de H divise l'ordre de G. Un théorème de Sylow garantit, pour certains diviseurs de l'ordre de G, l'existence d'un sous-groupe d'ordre correspondant, et donne une information sur le nombre de ces sous-groupes.

Ils portent le nom du mathématicien norvégien Ludwig Sylow, qui les démontra en 1872.

Définition

Soit p un nombre premier; alors nous définissons un p-sous-groupe de Sylow de G comme un p-sous-groupe maximal de G (i.e., un sous-groupe qui est un p-groupe, et qui n'est un sous-groupe propre d'aucun autre p-sous-groupe de G). L'ensemble de tous les p-sous-groupes de Sylow pour un entier premier p donné est parfois noté Syl_p(G).

Les collections de sous-groupes maximaux, dans un sens ou un autre ne sont pas rares en théorie des groupes. Le résultat étonnant ici est que dans le cas de Syl_p(G), tous les membres sont en fait conjugués entre eux (et donc isomorphes) et cette propriété peut être exploitée pour déterminer d'autres propriétés de G.

Exemples, applications

Soit G un groupe d'ordre 15 = 3 · 5. Nous devons avoir n₃ divise 5, et n₃ = 1 mod 3. La seule valeur satisfaisant ces contraintes est 1; ainsi, il y a un seul sous-groupe d'ordre 3, et il doit être normal (puisque il n'a pas de conjugués distincts). De façon analogue, n₅ divise 3, et n₅ = 1 mod 5; il a donc aussi un seul sous-groupe normal d'ordre 5. Puisque 3 et 5 sont premiers entre eux, l'intersection de ces deux sous-groupes est triviale, et donc G est nécessairement un groupe cyclique. Ainsi, il existe un seul groupe d'ordre 15 (à un isomorphisme près); noté $\mathbb Z/15\mathbb Z$ .

Donnons un exemple plus complexe. Nous pouvons montrer qu'il n'y a pas de groupe simple d'ordre 350. Si |G| = 350 = 2 · 5² · 7, alors n₅ doit diviser 14 (= 2 · 7), et n₅ = 1 mod 5. Donc n₅ = 1 (puisque ni 6 ni 11 ne divisent 14), et ainsi G doit avoir un sous-groupe normal d'ordre 5², et donc ne peut pas être simple.

L'article groupe simple d'ordre 168 utilise un théorème de Sylow pour montrer le caractère simple d'un groupe. L'article groupe alterné utilise ces théorèmes pour montrer que le plus petit groupe simple non abélien est d'ordre 60.

Les théorèmes de Sylow

Les propositions suivantes furent avancées et démontrées par le mathématicien norvégien Ludwig Sylow en 1872. Soit G un groupe fini donné et p un nombre premier qui divise l'ordre de G, nous pouvons écrire l'ordre de G sous la forme (pⁿ · s), où n > 0 et p ne divise pas s. Alors:

Il existe un p-sous-groupe de Sylow de G, d'ordre pⁿ.
Tous les p-sous-groupes de Sylow de G sont conjugués entre eux (et ainsi sont isomorphes), i.e. si H et K sont des p-sous-groupes de Sylow de G, alors il existe un élément g dans G vérifiant g^-1H g = K.
Soit n_p le nombre de p-sous-groupes de Sylow de G.
- n_p divise s.
- n_p = 1 mod p.

En particulier, les propriétés précédentes impliquent que tout p-sous-groupe de Sylow est du même ordre, pⁿ; et inversement, si un sous-groupe est d'ordre pⁿ, alors c'est un p-sous-groupe de Sylow, et ainsi est isomorphe à tous les autres p-sous-groupes de Sylow. À cause de la condition de maximalité, si H est un p-sous-groupe quelconque de G, alors H est un sous-groupe d'un p-sous-groupe d'ordre pⁿ.

Par ailleurs, le normalisateur de chaque p-Sylow de G est d'indice $n p$ dans G.

Autres démonstrations

Premier théorème

On suppose $\displaystyle |G| = n$ (i.e. $G$ d'ordre n) ; alors $\displaystyle G$ est isomorphe à un sous-groupe de $\displaystyle Sym (n)$ qui est isomorphe à un sous-groupe de $GL_n (\mathbb {F}_p)$ qui est l'ensemble des applications linéaires d'un $\mathbb{F}_p$ -espace vectoriel $\displaystyle E$ de dimension $\displaystyle n$ . Soit $\displaystyle (e_1,..., e_n)$ une base de $\mathbb{F}_p^{n}$ , comme $\displaystyle Sym (n)$ est l'ensemble des permutations d'un ensemble à $\displaystyle n$ éléments, par exemple $\displaystyle \{e_1,..., e_n\}$ , si $\sigma \in Sym (n)$ , $\displaystyle \sigma$ permute la base, donc on peut lui faire correspondre une application linéaire bijective, i.e. un élément de $GL_n (\mathbb {F}_p)$ . Soit $T = { \begin{pmatrix} 1 & \cdots & * \\ \vdots & 1 & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \in GL_n (\mathbb {F}_p)}$ , $|T| = p \times p^2 \times \cdots \times p^{n-1}$ et $|GL_n (\mathbb{F}_p)|_p = (p^n-1)(p^n-p)\cdots (p^n-p^{n-1}) = p \times p^2 \times \cdots \times p^{n-1}$ et $\displaystyle T$ est un sous-groupe de $GL_n (\mathbb {F}_p)$ , donc $\displaystyle T$ est un $\displaystyle p$ -sous-groupe de Sylow de $GL_n (\mathbb {F}_p)$ et comme $\displaystyle G$ est isomorphe à un sous-groupe de $GL_n (\mathbb {F}_p)$ , $\displaystyle G$ admet un $\displaystyle p$ -sous-groupe de Sylow