Théorèmes de Sylow - Définition

Démonstrations

Les démonstrations des théorèmes de Sylow exploitent la notion d'action de groupe de diverses façons. Le groupe G agit sur lui-même ou sur l'ensemble de ses p-sous-groupes de différentes façons, et de telles actions peuvent être utilisées pour démontrer l'un des théorèmes de Sylow.

Les démonstrations reposent sur plusieurs propriétés des classes de conjugaison d'éléments et de sous-ensembles de G:

• |Cl(S)| = [G:N(S)]
  • où S est n'importe quel sous-ensemble de G, Cl(S) est la classe de conjugaison des ensembles T = g ^-1Sg pour une certaine g dans G, et N(S) est le normalisateur de S dans G.
• |Cl(x)| = [G:C(x)]
  • où x est élément quelconque de G, Cl(x) est la classe de conjugaison d'éléments y = g ^-1xg pour un certain g dans G, et C(x) est le centralisateur de x dans G.
• |G| = |Z(G)| + ∑_i [G:C(x_i)]
  • L' équation aux classes de G, où Z(G) est le centre de G, et la somme est prise sur un ensemble {x_i} représentant les classes de conjugaison de G non réduites à un singleton, cet-a-dire; non central.

D'abord, pour un groupe G donné d'ordre pⁿ·s, nous pouvons démontrer par récurrence, que G a un sous-groupe K d'ordre pⁿ.

• Par récurrence sur l'ordre de G. Si G a un sous-groupe strict dont l'ordre est divisible par pⁿ alors, d'après l'hypothèse de récurrence, ce sous-groupe a un sous-groupe K d'ordre pⁿ; et, ainsi, il en est de même pour G.
• Supposons le contraire. Alors pour tout élément x qui n'est pas dans le centre de G, Z(G), nous obtenons que le centralisateur de x, C(x), est un sous-groupe strict de G; et ainsi son ordre ne sera pas divisible par pⁿ.
• D'après le théorème de Lagrange, |G| = |C(x)|·[G:C(x)]; puisque |G| est divisible par pⁿ, [G:C(x)] est divisible par p; ainsi comme nous l'avons remarqué précédemment, |Cl(x)| = [G:C(x)] est divisible par p.
• Donc, chaque |Cl(x_i)| dans l'équation aux classes est divisible par p, comme l'est |G|; il s'ensuit que, |Z(G)| est divisible par p. |Z(G)| est un groupe abélien; et comme son ordre est divisible par p, il a un sous-groupe H d'ordre p (voir groupe abélien fini). En fait, H (qui est dans le centre de G) est un sous-groupe normal de G.
• Puisque H est normal, le groupe quotient G/H existe et aura un ordre divisible par p^n-1. D'après l'hypothèse de récurrence, G/H aura alors un sous-groupe L qui aura un ordre p^n-1.
• D'après le théorème des treillis, il existe un unique sous-groupe K de G tel que K/H = L; puisque H est d'ordre p, alors K est d'ordre pⁿ.

K est nécessairement maximal d'après Lagrange, donc est un p-sous-groupe de Sylow; et ainsi Syl_p(G) n'est pas vide.

Ensuite, nous utilisons l'existence de K pour démontrer que Cl(K), la classe de conjugaison de K, est en fait Syl_p(G); donc chaque p-sous-groupe de Sylow est un conjugué de K. En plus, cela démontre que n_p = 1 mod p.

• Pour l'affirmation suivante, soit H un p-sous-groupe de Sylow quelconque (pas nécessairement distinct de K). Nous pouvons partitionner Cl(K) en utilisant les automorphismes intérieurs induits par H de la manière suivante :
  • Étant donné L et M des éléments de Cl(K), M appartient à Cl(L) si et seulement s’il existe un h dans H tel que h ^-1Mh = L.
• Il est facile de voir que Cl'(L) est une classe d'équivalence; et que Cl(K) est la réunion disjointe de ces classes; ainsi |Cl(K)| = ∑_i(|Cl'(L_i)|), la somme des ordres de ces classes sur des représentants {L_i} sous-ensembles de Cl(K).
• Étant donnés a, b dans H, et un L dans Cl(K), a ^-1La = b ^-1Lb si et seulement si N_H(L)a = N_H(L)b, où N_H(L) est le normalisateur de L dans H.
• Donc |Cl'(L)| = [H:N_H(L)]. Remarquons que N_H(L) = (H ∩ N_G(L)); nous en déduisons que |Cl(L)| = [H:(H ∩ N(L))]. Puisque H est un p-groupe, (H ∩ N(L)) est aussi un p-groupe (d'après Lagrange); et ainsi pour tout L_i dans Cl(K), [H:(H ∩ N(L_i))] = |Cl'(L_i)| = p^m pour un m ≥ 0.
• À ce point, il serait intéressant d'en savoir un peu plus sur (H ∩ N(L_i)). Donnons nous un L quelconque dans Cl(K), considérons un élément x dans H, où x n'est pas dans L. Alors x n'est pas dans N(L), et ainsi H ≠ (H ∩ N(L)):
  • Supposons que x soit dans N(L). Rappelons que L est un sous-groupe normal de N(L), et considérons l'élément xL/L du groupe quotient N(L)/L.
  • Puisque H est un p-groupe, x^q = e, où q est une puissance de p. Donc, nous devons avoir que xL/L a un ordre divisant une puissance de p. Mais puisque |L| = pⁿ, p ne peut pas diviser |N(L)/L|; et ainsi xL/L est l'élément neutre de N(L)/L. Ainsi x doit être un élément de L; et donc un élément de N(L), contrairement à l'hypothèse.
• Donc, si L appartient à Cl(K) et si H ≠ L, alors |Cl'(L)| = [H:(H ∩ N(L))] = p^m pour un certain m>0. D'un autre côté, si H = L appartient à Cl(K), alors |Cl'(L)| = |Cl'(H)| = [H:(H ∩ N(H))] = [H:H] = 1.
• Puisque Cl(K) est la réunion disjointe des Cl'(L_i), |Cl(K)| = kp pour un certain k si H n'est pas dans Cl(K), et |Cl(K)|=kp+1 si H est dans Cl(K).
• Nous avions avancé au début que H n'était pas nécessairement distinct de K. Puisque K appartient à Syl_p(G), nous pouvons prendre H = K pour montrer que |Cl(K)| = 1 mod p; en même temps, ceci fournit une contradiction si nous supposons que H n'est pas dans Cl(K) (comme son ordre ne peut pas être à la fois égal à 0 et 1 mod p).
• Donc H est dans Cl(K), et ainsi Syl_p(G) = Cl(K).
• Tout p-sous-groupe de Sylow est conjugué K; et n_p = |Cl(K)| = 1 mod p.

L'autre fait concernant n_p suit presque immédiatement.

• Puisque n_p = 1 mod p, n_p ne divise pas pⁿ; puisque n_p = [G : N(K)], il divise |G|, ains’il doit diviser s.

Remarquons que l'argument utilisé ci-dessus concernant la conjugaison reste valable aussi longtemps que |Cl(K)| = [G:N(K)] est fini; ainsi nous pouvons énoncer de façon analogue des théorèmes de Sylow pour les groupes infinis :

• Si K est un p-sous-groupe de Sylow de G, et n_p = |Cl(K)| est fini, alors tout p-sous-groupe de Sylow est conjugué à K, et n_p = 1 mod p.