Variété algébrique non-singulière

Variété algébrique non-singulière - Définition et Explications

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Introduction

Une variété algébrique non-singulière (ou lisse) est une variété dépourvue de point singulier. C'est le cadre naturel de nombre de théorèmes fondamentaux en géométrie algébrique.

Définition

On dit qu'une variété algébrique X est régulière lorsque son anneau local OX,x est un anneau local régulier pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) point (Graphie) x\in X .

Soit X une variété algébrique sur un corps k. Soit \bar{k} une clôture algébrique (En mathématiques, une clôture algébrique d'un corps K est une extension algébrique de K qui est algébriquement close.) de k. On dit que X est non-singulière ou lisse si la variété X_{\bar{k}} obtenue après le changement de base \bar{k}/k est une variété régulière.

Exemples

  • Les espaces affines \mathrm{Spm } k[T_1,\ldots, T_n] et les espaces projectifs \mathrm{Proj }k[T_0, \ldots, T_n] sont non-singulières.
  • Une courbe plane (En géométrie, une courbe plane est une courbe qui est entièrement contenue dans un (unique) plan, et qui est identifiable à une fonction continue :) Spm(k[T,S] / (F(T,S))) est non-singulière si et seulement si les polynômes F, \partial F/\partial T, \partial F/\partial S n'ont pas de zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans...) commun dans \bar{k}^2 (ce qui équivaut à dire qu'ils engendrent l'idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau. Les idéaux généralisent de façon féconde l'étude de la divisibilité pour les entiers. Il...) unité de k[T,S]).
  • Si k est un corps imparfait (i.e. un corps qui n'est pas parfait), alors il existe \lambda\in k qui ne soit une puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) p-ième, où p est la caractéristique de k. Soit k' = k[T] / (Tp − λ) l'extension radicielle définie par la racine p-ième de λ. Alors Spm(k') est une variété algébrique sur k, régulière mais pas non-singulière.

Remarque Être régulière est une propriété absolue (L'absolue est un extrait obtenu à partir d’une concrète ou d’un résinoïde par extraction à l’éthanol à température ambiante ou plus...) de la variété algébrique, alors qu'être non-singulière dépend du corps de base que l'on considère. Dans l'exemple ci-dessus, Spm(k') n'est pas non-singulière en tant que k-variété, mais elle l'est en tant que k'-variété.

Bibliographie

Propriétés

  • Si X est non-singulière, alors elle est régulière. L'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si 1 désigne...) est vrai si k est parfait.
  • Critère jacobian: Soit X = Spm[T1,...,Tn] / (F1,...,Fm) une variété algébrique affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) connex (Veolia Transport (ex-Connex) est la marque transport du groupe Veolia Environnement. Son activité consiste principalement à exploiter des services de transport en commun...) de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...) d. Alors X est non-singulière si et seulement si le rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le théorème du rang lie le rang et la dimension du noyau...) de la matrice jacobienne Jacx(F1,...,Fm) est égal à nd pour tout x.
  • Soit X une variété algébrique complexe (i.e. définie sur le corps des nombres complexes). Soit Xan l'espace analytique complexe associé à X. Alors X est non-singulière si et seulement si Xan est une variété analytique complexe, c'est-à-dire localement biholomorphe à un ouvert d'un {\mathbb C}^n.
  • Si X est non-singulière et connexe de dimension n, alors X est irréductible et même intègre, et le faisceau des formes différentielles sur X est localement libre de rang n. Autrement dit, c'est un fibré (En mathématiques, un espace fibré est la donnée d'un espace topologique appelé espace total muni d'une projection continue sur un autre espace...) vectoriel de rang n (appelé le fibré cotangent) sur X.
  • Structure locale: Contrairement aux variétés analytiques complexes ou différentielles, une variété algébrique, même non-singulière, n'est pas localement (pour la topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).) de Zariski) isomorphe à un ouvert d'un espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais différant de celle d'Euclide par l'axiome des parallèles. Elles remettaient...). Mais cela devient vrai si l'on remplace la topologie de Zariski par la topologie étale. En termes plus concrets, tout point d'une variété algébrique non-singulière (Une variété algébrique non-singulière (ou lisse) est une variété dépourvue de point singulier. C'est le cadre naturel de...) possède un voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité qui s'entend ici comme...) ouvert (de Zariski!) qui est un revêtement étale d'un espace affine. En géométrie algébrique (La géométrie algébrique est un domaine des mathématiques qui, historiquement, s'est d'abord intéressé à des objets géométriques (courbes, surfaces...)...), un rêvetement étale est un morphisme plat et non-ramifié.
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