Fibré
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Introduction

En mathématiques, un espace fibré est la donnée d'un espace topologique appelé espace total muni d'une projection continue sur un autre espace appelé base, telle que la préimage de chaque point soit homéomorphe à un espace fixe appelé fibre. Cette projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) est a priori supposée localement triviale, c'est-à-dire que tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) point (Graphie) de la base admet un voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité qui s'entend ici comme la...) dont la préimage s'identifie à un produit cartésien (En mathématiques, le produit cartésien de deux ensembles X et Y est l'ensemble de tous les couples, dont la première composante appartient à X et la seconde à Y. On généralise facilement la notion...) de ce voisinage et de la fibre, par le biais d'homéomorphismes appelés trivialisations ou cartes. Le groupe de structure est alors un groupe d'homéomorphismes de la fibre permettant le passage d'une trivialisation à l'autre.

Cette définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) généralise donc la projection d'un produit cartésien sur l'un de ses facteurs.

Définition formelle

Un espace fibré (En mathématiques, un espace fibré est la donnée d'un espace topologique appelé espace total muni d'une projection continue sur un autre espace appelé base, telle que la préimage de chaque point soit...) localement trivial peut se présenter comme la donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) d'une application continue π (projection ou pied) entre deux espaces topologiques séparés E et B (espace total et base), d'un espace séparé F (fibre) sur lequel agit un groupe G (groupe de structure) et d'un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) d'homéomorphismes (cartes)

\phi_i \colon\ U_i \times F \stackrel{\simeq}{\longrightarrow} \pi^{-1}(U)

où la famille (Ui) décrit un recouvrement (Un recouvrement d'un ensemble X est un ensemble P de sous-ensembles non vides de X tel que l'union de ces sous-ensembles soit égal à X. Autrement dit P est un...) ouvert de B, satisfaisant les conditions suivantes :

  1. Les cartes commutent avec les projections :
    \forall (b, y) \in U_i\times F,\ \pi(\phi(b,y)) = b\ .
  2. Les changements de carte sont induits par des sections dans le groupe de structure, autrement dit pour tout couple de cartes (φ, ψ) définies sur un même ouvert U×F il existe une application continue θ de U dans G telle que :
    \forall (b, y) \in U\times F,\ \psi(b,y) = \phi(b,\theta(y))\ .

L'ensemble des cartes est en général supposé maximal satisfaisant ces conditions, c'est-à-dire que tout homéomorphisme (En topologie, un homéomorphisme est un isomorphisme entre deux espaces topologiques : c'est une bijection continue de l'un dans l'autre, dont la réciproque est continue. Dans ce cas, les deux...) commutant avec les projections et compatible avec les autres cartes est aussi une carte.

Un espace fibré est dit trivialisable s'il admet une carte ayant l'espace total pour image. Il est dit trivial lorsqu'une telle carte est précisée, ce qui l'identifie comme espace fibré au produit cartésien de la base et de la fibre.

Une réduction du groupe de structure est la donnée d'un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi élément du sur-ensemble B. Il...) de cartes dont la réunion (La Réunion est une île française du sud-ouest de l'océan Indien située dans l'archipel des Mascareignes à environ 700...) des images est l'espace total et qui reste maximal pour un groupe de structure plus petit. Une trivialisation est donc une réduction du groupe de structure au groupe trivial.

Un fibré de fibre F et de base B se dit parfois « en F sur B ».

Types de fibrés

  • Un revêtement est un espace fibré dont la fibre est discrète.
  • Un fibré vectoriel est un espace fibré dont la fibre est un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.) euclidien et le groupe de structure est le groupe linéaire. C'est le cas des fibrés tangent et cotangent sur une variété différentielle.
  • Un fibré différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de rotation de façon adaptative aux besoins d'un ensemble mécanique.) est un fibré pour lequel l'espace total, la base et la fibre sont des variétés différentielles

.

  • Un fibré principal est un fibré pour lequel le groupe de structure agit librement et transitivement sur la fibre, autrement dit si la fibre peut s'identifier au groupe de structure muni de l'action à droite.

Exemples et contre-exemples

  • Le ruban de Möbius (Le ruban de Möbius est une curiosité topologique très facile à confectionner, comme le montre le schéma ci-dessous.) muni de la projection sur un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du...) médiateur est un espace fibré non trivial, de fibre un intervalle réel et dont le groupe de structure peut se réduire à deux éléments (l'identité et une réflexion).
  • La bouteille de Klein (En mathématiques, la bouteille de Klein est une surface fermée, sans bord et non orientable, c'est-à-dire une surface pour laquelle on ne peut pas définir un « intérieur » et un « extérieur ». La...) est un fibré en cercles sur le cercle dont le groupe de structure se réduit aussi à deux éléments.
  • La fibration de Hopf est un fibré en cercles sur la sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance d'un point appelé...), dont le groupe de structure se réduit au groupe des isométries positives du cercle.
  • La projection du premier quadrant (En géométrie euclidienne : quart de la circonférence du cercle (lui-même divisé en 100 grades ou 90 degrés et leurs subdivisions respectives). Chacune des...) sur sa bissectrice (La bissectrice d'un secteur angulaire est la demi-droite issue du sommet de l'angle qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure. Elle forme de ce fait...) est une fibration qui ne définit pas un fibré, car la préimage de l'origine est réduite à un point tandis que la préimage de tout autre point de la bissectrice est un segment d'intérieur non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.).
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