Volume - Définition et Explications

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Unités de volume

L'unité de volume du système international est le mètre cube (m³) et ses dérivés (dm³, cm³, mm³). Mais d'autres unités de volume persistent surtout dans les pays anglo-saxons (voir Conversion des unités).

Les volumes de matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide, l'état liquide, l'état gazeux. La matière occupe de l'espace et...) liquide (La phase liquide est un état de la matière. Sous cette forme, la matière est facilement déformable mais difficilement compressible.) ont souvent leurs unités propres (litre, pinte, baril). La mise en place du système métrique a grandement simplifié le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) d'unités de volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) utilisées qui dans l'Ancien Régime en comptait plus de vingt (voir Unités de mesure de l'Ancien Régime).

Pour les gaz (Un gaz est un ensemble d'atomes ou de molécules très faiblement liés et quasi-indépendants. Dans l’état gazeux, la...) où l'on veut connaître la quantité de matière (La quantité de matière est une grandeur de comptage d'entités chimiques ou physiques élémentaires. L'unité qui lui correspond est la mole.) (nombre de molécules) contenue dans un volume donné quelles que soient la pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée à la surface sur laquelle elle s'applique.) et la température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et étudiée en thermométrie. Dans la vie courante, elle est reliée aux sensations de froid et de chaud, provenant du...), deux définitions de correction existent :

  • le mètre (Le mètre (symbole m, du grec metron, mesure) est l'unité de base de longueur du Système international (SI). Il est défini, depuis 1983, comme la distance parcourue par la...) cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus...) dit normal exprimé en m3(n) correspondant à un volume de gaz ramené sous une pression de 1 013,25 hPa (pression d'une atmosphère (Le mot atmosphère peut avoir plusieurs significations :) normale ou 1 atm) et une température de 0 °C.
  • le mètre cube dit standard exprimé en m3(s) correspondant à un volume de gaz ramené sous une pression de 1 013,25 hPa (pression d'une atmosphère normale ou 1 atm) et une température de 25 °C.

Les volumes décrit ci-dessus correspondent à des volumes dit corrigés. Le volume qui ne tient pas compte de ces corrections est dit brut. On rencontre ces volumes dans l'élaboration des débits (voir débit) et du pouvoir calorifique des gaz.

Dans l'Union européenne, de nombreux volumes (et masses), sur les produits de consommation, sont indiqués en quantité estimée (La quantité estimée est une notion, introduite par des directives de la CEE, concernant l'harmonisation (rapprochement des législations) et le marquage des produits préemballés des états membres (en...). Ils sont marqués comme tel, d'un « e » minuscule.

En mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les...), l'unité de volume n'apparaît pas dans les formules. Elle est implicitement donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) par le volume du cube unité. Si, par exemple, pour des questions d'échelle, le cube unité a pour arête 2 cm, un volume de X (cube unité) correspond à 8X cm³.

Volume et calcul intégral

Si \mathcal D est une partie bornée de \R^2, le volume du cylindre (Un cylindre est une surface dans l'espace définie par une droite (d), appelée génératrice, passant par un point variable décrivant une courbe plane fermée (c), appelée courbe directrice et gardant...) ayant pour génératrice la frontière (Une frontière est une ligne imaginaire séparant deux territoires, en particulier deux États souverains. Le rôle que joue une frontière peut fortement varier...) de \mathcal D, délimité par le plan z = 0 et la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement confondu avec sa mesure,...) d'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les...) z = f(x,y) – avec f positive et continue sur \mathcal D – est :

V = \iint_\mathcal D f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y

Dans le cas où le domaine \mathcal D est défini par des conditions simples x1 < x < x2, y1(x) < y(x) < y2(x), ce calcul se ramène à :

V = \int_{x_1}^{x_2}\!\int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x

Si \mathcal A est une partie bornée de \R^3 et si la fonction constante 1 est intégrable sur \mathcal A, le volume de \mathcal A est alors

V = \iiint _\mathcal A \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z

Dans le cas où le domaine \mathcal A est défini par des conditions simples x1(z,y) < x(z,y) < x2(z,y), y1(z) < y(z) < y2(z) et z1 < z < z2, ce calcul se ramène à :

V = \int_{z_1}^{z_2}\!\int_{y_1(z)}^{y_2(z)}\!\int_{x_1(z,y)}^{x_2(z,y)}\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z

Par linéarité de l'intégration, un domaine difficile à définir peut être partitionné en plusieurs sous-domaines exprimables eux en conditions simples.

Si le domaine \mathcal A s'exprime mieux en coordonnées cylindriques par des conditions simples \mathcal A', le calcul peut s'exprimer par

V = \iiint _{\mathcal A'} r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,dz\mathcal A' est une partie bornée de \R_+\times [0,2\pi] \times \R

Si le domaine \mathcal As'exprime mieux en coordonnées sphériques par des conditions simples \mathcal A'', le calcul peut s'exprimer par

V = \iiint _{\mathcal A''} r^2\sin(\phi)\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi\mathcal A'' est une partie bornée de \R_+\times [0,2\pi]\times [0,\pi].

Dans le cas où le domaine \mathcal A est un solide de révolution dont la frontière est engendrée par la rotation d'une courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) d'équation y = f(x) autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre...) de l'axe (Ox), le calcul du volume se réduit à une intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un...) simple

V = \pi \int_{x_1}^{x_2}f^2(x)\,\mathrm{d}x

Enfin, le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un...) de flux-divergence permet de réduire le calcul de volume à une intégrale de surface

V = \iiint _A \mathrm{d}V = \frac 13 \iint_{\part\mathcal A} (x,y,z)\vec n\,\mathrm{d}S

\part\mathcal A est la frontière de \mathcal A, et \vec n le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de...) unitaire normal à dS dirigé vers l'extérieur de \mathcal A.

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