Volume - Définition et Explications

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Unités de volume

L'unité de volume du système international est le mètre cube (m³) et ses dérivés (dm³, cm³, mm³). Mais d'autres unités de volume persistent surtout dans les pays anglo-saxons (voir Conversion des unités).

Les volumes de matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses...) liquide (La phase liquide est un état de la matière. Sous cette forme, la matière est...) ont souvent leurs unités propres (litre, pinte, baril). La mise en place du système métrique a grandement simplifié le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) d'unités de volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension...) utilisées qui dans l'Ancien Régime en comptait plus de vingt (voir Unités de mesure de l'Ancien Régime).

Pour les gaz (Un gaz est un ensemble d'atomes ou de molécules très faiblement liés et...) où l'on veut connaître la quantité de matière (La quantité de matière est une grandeur de comptage d'entités chimiques ou physiques...) (nombre de molécules) contenue dans un volume donné quelles que soient la pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée...) et la température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et...), deux définitions de correction existent :

  • le mètre (Le mètre (symbole m, du grec metron, mesure) est l'unité de base de longueur du...) cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées....) dit normal exprimé en m3(n) correspondant à un volume de gaz ramené sous une pression de 1 013,25 hPa (pression d'une atmosphère (Le mot atmosphère peut avoir plusieurs significations :) normale ou 1 atm) et une température de 0 °C.
  • le mètre cube dit standard exprimé en m3(s) correspondant à un volume de gaz ramené sous une pression de 1 013,25 hPa (pression d'une atmosphère normale ou 1 atm) et une température de 25 °C.

Les volumes décrit ci-dessus correspondent à des volumes dit corrigés. Le volume qui ne tient pas compte de ces corrections est dit brut. On rencontre ces volumes dans l'élaboration des débits (voir débit) et du pouvoir calorifique des gaz.

Dans l'Union européenne, de nombreux volumes (et masses), sur les produits de consommation, sont indiqués en quantité estimée (La quantité estimée est une notion, introduite par des directives de la CEE, concernant...). Ils sont marqués comme tel, d'un « e » minuscule.

En mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide...), l'unité de volume n'apparaît pas dans les formules. Elle est implicitement donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) par le volume du cube unité. Si, par exemple, pour des questions d'échelle, le cube unité a pour arête 2 cm, un volume de X (cube unité) correspond à 8X cm³.

Volume et calcul intégral

Si \mathcal D est une partie bornée de \R^2, le volume du cylindre (Un cylindre est une surface dans l'espace définie par une droite (d), appelée...) ayant pour génératrice la frontière (Une frontière est une ligne imaginaire séparant deux territoires, en particulier deux...) de \mathcal D, délimité par le plan z = 0 et la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) d'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) z = f(x,y) – avec f positive et continue sur \mathcal D – est :

V = \iint_\mathcal D f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y

Dans le cas où le domaine \mathcal D est défini par des conditions simples x1 < x < x2, y1(x) < y(x) < y2(x), ce calcul se ramène à :

V = \int_{x_1}^{x_2}\!\int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x

Si \mathcal A est une partie bornée de \R^3 et si la fonction constante 1 est intégrable sur \mathcal A, le volume de \mathcal A est alors

V = \iiint _\mathcal A \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z

Dans le cas où le domaine \mathcal A est défini par des conditions simples x1(z,y) < x(z,y) < x2(z,y), y1(z) < y(z) < y2(z) et z1 < z < z2, ce calcul se ramène à :

V = \int_{z_1}^{z_2}\!\int_{y_1(z)}^{y_2(z)}\!\int_{x_1(z,y)}^{x_2(z,y)}\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z

Par linéarité de l'intégration, un domaine difficile à définir peut être partitionné en plusieurs sous-domaines exprimables eux en conditions simples.

Si le domaine \mathcal A s'exprime mieux en coordonnées cylindriques par des conditions simples \mathcal A', le calcul peut s'exprimer par

V = \iiint _{\mathcal A'} r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,dz\mathcal A' est une partie bornée de \R_+\times [0,2\pi] \times \R

Si le domaine \mathcal As'exprime mieux en coordonnées sphériques par des conditions simples \mathcal A'', le calcul peut s'exprimer par

V = \iiint _{\mathcal A''} r^2\sin(\phi)\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi\mathcal A'' est une partie bornée de \R_+\times [0,2\pi]\times [0,\pi].

Dans le cas où le domaine \mathcal A est un solide de révolution dont la frontière est engendrée par la rotation d'une courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du...) d'équation y = f(x) autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne...) de l'axe (Ox), le calcul du volume se réduit à une intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé...) simple

V = \pi \int_{x_1}^{x_2}f^2(x)\,\mathrm{d}x

Enfin, le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de flux-divergence permet de réduire le calcul de volume à une intégrale de surface

V = \iiint _A \mathrm{d}V = \frac 13 \iint_{\part\mathcal A} (x,y,z)\vec n\,\mathrm{d}S

\part\mathcal A est la frontière de \mathcal A, et \vec n le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) unitaire normal à dS dirigé vers l'extérieur de \mathcal A.

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