Union (mathématiques)
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Définition

L'union des ensembles A et B
L'union des ensembles A et B

Dans la théorie des ensembles, l'union ou réunion de deux ensembles A et B est l'ensemble qui contient tous les éléments qui appartiennent à A ou appartiennent à B. On note l'union de A et B A ∪ B. En notation symbolique, c'est :

\forall x,x\in A \cup B \Leftrightarrow ((x \in A) \lor (x \in B))

Par exemple l'union des ensembles A={1,2,3} et B={2,3,4} est l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise...) {1,2,3,4}.

En algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une...) booléenne, l'union est associée à l'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois...) ou inclusif.

On généralise ce concept à une famille d'ensembles (A_i)_{i\in I}. La réunion ou union des ensembles membres de cette famille est l'ensemble des éléments x pour lesquels il existe un i\in I tel que x\in A_i. On le note alors \bigcup_{i\in I}A_i.

Propriétés algébriques

  • L'union est associative, i.e. pour des ensembles A, B et C quelconques, on a :
(AB) ∪ C = A ∪ (BC)
  • L'union est commutative, i.e. pour des ensembles A et B quelconques, on a :
AB = BA
  • L'intersection est distributive sur l'union, i.e. pour des ensembles A, B et C quelconques, on a :
A ∩ (BC) = (AB) ∪ (AC)
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