Cube de Hilbert
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En topologie, on appelle cube de Hilbert l'espace produit K = \left[0,1\right]^{\mathbb N} muni de la topologie produit. D'après le théorème de Tychonoff, c'est un espace compact.

Il est homéomorphe à \left[0,1\right] \times \left[0,\frac12\right] \times \left[0,\frac13\right] \times \cdots, ou à l'espace des suites x = \left(x_n\right)_{n \in \mathbb N}, telles que \forall n, \; 0 \le x_n \le \frac{1}{n}, muni de la distance :

d\left(x,y\right) = \sqrt{\sum_{n=0}^{\infty} \left(x_n-y_n\right)^2}.

Il s'agit donc d'un espace métrisable.

Il est à base dénombrable (en fait, pour un espace compact (En topologie de la droite réelle, la propriété de Borel-Lebesgue est une propriété topologique remarquable des segments, basée sur la notion de recouvrement. Elle sert d'axiome en topologie générale...), être métrisable ou être à base dénombrable sont des propriétés équivalentes), et possède la propriété universelle suivante :

Tout espace métrisable à base dénombrable est homéomorphe à un sous-espace de K. "

Cela fournit en particulier un moyen commode pour compactifier les espaces métrisables à base dénombrable, et aussi un critère pour les classifier selon leur complexité ; par exemple un espace est polonais si et seulement si il est homéomorphe à l'intersection d'une suite d'ouverts de K. On en déduit aussi que tout espace mesurable (On appelle espace mesurable le couple (X,Ω).) dénombrablement engendré et séparé est isomorphe à une partie de K munie de la tribu induite par la tribu borélienne (La tribu borélienne sur un (ou d'un) espace topologique T est la plus petite σ-algèbre sur T contenant tous les ensembles ouverts. Les éléments de la tribu borélienne sont appelés des boréliens.) de K.

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