Compacité (mathématiques)
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En topologie de la droite réelle, la propriété de Borel-Lebesgue est une propriété topologique remarquable des segments, basée sur la notion de recouvrement. Elle sert d'axiome en topologie générale pour définir la notion d'espace compact (En topologie de la droite réelle, la propriété de Borel-Lebesgue est une propriété topologique remarquable des segments, basée sur la notion de recouvrement....), et étendre plusieurs des résultats concernant les segments à un cadre très général. Le nom choisi pour cet axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une vérité indémontrable qui doit être...) rend hommage aux mathématiciens français Émile Borel et Henri Lebesgue.

Propriété de Borel-Lebesgue

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions...) préalable : Soit E un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude...), et A une partie de E. On dit qu'une famille \Re  = (X_i )_{i \in I} de parties de E recouvre A si leur réunion \bigcup\limits_{i \in I} {X_i } contient A

Propriété de Borel-Lebesgue pour les segments : soit un segment [a,b] de la droite réelle. De tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) recouvrement (Un recouvrement d'un ensemble X est un ensemble P de sous-ensembles non vides de X tel que l'union de ces sous-ensembles soit égal à X. Autrement dit P est un recouvrement de X si et seulement si tout élément x de X se trouve dans au moins...) de ce segment par des ouverts, on peut extraire un sous-recouvrement fini. C'est-à-dire que pour toute famille (U_i )_{i \in I} d'ensembles ouverts recouvrant [a,b], il existe une partie finie J de I telle que la sous-famille (U_i )_{i \in J} recouvre [a,b].

Pour une démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en...) de cette propriété voir le théorème de Borel-Lebesgue (En Topologie de , le théorème de Borel-Lebesgue ou de Heine-Borel établit l'équivalence entre les deux propriétés suivantes d'un ensemble A de vecteurs :), aussi appelé théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à...) de Heine-Borel.

La propriété de Borel-Lebesgue est étroitement liée à une propriété des suites bornées de réels : de toute suite bornée de réels, on peut extraire une suite convergente. Le lien entre les deux propriétés apparaîtra plus nettement dans la section suivante.

De l'une ou l'autre de ces propriétés il est possible de tirer quelques conséquences importantes sur les fonctions numériques. Notamment : l'image d'un segment par une application continue est un segment, et la fonction est alors uniformément continue (théorème de Heine).

Axiome de Borel-Lebesgue et définition générale des compacts

Un espace topologique (En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité et...) E est dit quasi-compact s'il vérifie l'axiome de Borel-Lebesgue : de tout recouvrement ouvert de E, on peut extraire un sous-recouvrement fini. L'espace est dit compact quand il est en outre séparé.

Par passage au complémentaire, cette dernière propriété est équivalente à la propriété suivante : si (F_i)_{i\in I} est une famille de fermés telle que \bigcap_{i\in I}F_i\ =\ \empty, alors on peut extraire une famille finie (En mathématiques, la notion de famille est une généralisation de celle de suite, suite finie ou suite indexée par les entiers. Ainsi on pourra parler, en algèbre linéaire, de la famille de vecteurs (u1, u2,...) (F_i)_{i\in J}, avec J \subset I, telle que \bigcap_{i\in J}F_i\ =\ \empty. Ou encore, par contraposition, si toute intersection finie \bigcap_{i\in J}F_i d'une famille de fermés est non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.), alors l'intersection \bigcap_{i\in I}F_i de toute la famille est non vide.

NB : La terminologie anglo-saxonne demande seulement la propriété des sous-recouvrements finis mais pas nécessairement la séparation (D'une manière générale, le mot séparation désigne une action consistant à séparer quelque chose ou son résultat. Plus particulièrement il est employé dans plusieurs...).

Propriétés : compacts et fermés

Toute partie compacte d'un espace topologique séparé est fermée.

Démontrons cette propriété par contraposition. Soit A un espace qui n'est pas fermé. Alors il existe un point (Graphie) b adhérent à A et qui n'est pas élément de A. Si ce n'était pas le cas A serait égal à son adhérence qui est par définition fermée. Pour chaque point a de A, il existe alors un ouvert Oa contenant a et un ouvert Ba contenant b tel que leurs intersection est vide, car l'espace est séparé. L'ensemble des Oa forment un recouvrement ouvert de A. Et tout recouvrement fini extrait ne rencontre pas l'intersection des Ba associés. Or cette intersection finie est un ouvert (car il est défini comme une intersection finie d'ouverts) contenant b. Elle possède une intersection non vide avec A car tout voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions...) d'un point adhérent à un ensemble rencontre cet ensemble. Et A n'est pas compact.

NB: Ceci est en général faux si l'espace ambiant n'est pas séparé ; par exemple dans \R munie de la topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).) grossière (\empty,\R), \left\{ 1 \right\} est compact mais pas fermé.

Toute partie fermée d'un espace compact est compacte

Soit C un espace compact, F une partie fermée de C, et \mathcal{R} un recouvrement ouvert de F. Si l'on adjoint à \mathcal{R} l'ensemble ouvert CF, on obtient un recouvrement ouvert \mathcal{R}' de C. Puisque C est compact, on peut extraire de \mathcal{R}' un recouvrement fini \mathcal{R}'' de C. Comme \mathcal{R}'' est un recouvrement de C c'est aussi un recouvrement de F. Hormis l'éventuel ensemble CF, tous les membres de \mathcal{R}'' sont par construction membres de \mathcal{R}, recouvrement d'origine de F. En en enlevant CF, qui ne contribue pas à recouvrir F, on obtient un recouvrement fini de F extrait du recouvrement d'origine \mathcal{R}.

Théorème de Bolzano-Weierstrass et compacité séquentielle

Dans le cadre des espaces métriques (automatiquement séparés), le théorème de Bolzano-Weierstrass énonce qu'un espace K est compact si et seulement si de toute suite d'éléments de K il est possible d'extraire une sous-suite qui converge vers un élément de K.

Pour cette raison, dans le cadre des espaces métriques, la propriété de compacité est fréquemment introduite par caractérisation séquentielle.

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