Famille sommable
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La notion de famille sommable vise à étendre les calculs de sommes au cas d'un nombre infini de termes. Contrairement à la notion de série, on ne suppose pas que les termes sont donnés sous forme d'une suite ordonnée. Il s'agit donc de pouvoir en définir la somme de façon globale, sans préciser l'ordre dans lequel on procède. De ce fait, la sommabilité est une propriété plus exigeante que la convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) de série, et a des propriétés supplémentaires.

La sommabilité donne notamment un cadre utile pour l'étude des séries doubles.

Exemple préliminaire

Soit la suite de terme général u_n = \frac{(-1)^n}n pour n entier strictement positif. On peut répondre de plusieurs façons à la question " quelle est la somme des termes de cette suite ? "

La théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée...) des séries revient à sommer successivement tous les termes en formant (Dans l'intonation, les changements de fréquence fondamentale sont perçus comme des variations de hauteur : plus la fréquence est élevée, plus la hauteur perçue est haute et...) la somme partielle d'ordre N (somme des N premiers termes) et en passant à la limite. Ici il est plus simple de calculer

U_{2N} =\sum_{n=1}^{2N} u_n = \sum_{p=1}^N \frac1{2p} - \sum_{p=0}^{N-1} \frac1{2p+1} =2\sum_{p=1}^N \frac1{2p} - \sum_{p=1}^{2N} \frac1{p}

Par utilisation de la formule d'Euler on trouve que la suite U2N tend vers -ln(2), et on trouve la même limite pour la suite U_{2N+1}=U_{2N}-\frac1{2N+1}. On peut donc affirmer que la série converge et écrire

\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n}=-\ln 2

Pourtant, en sommant les mêmes termes d'une autre façon, il est possible d'obtenir un résultat distinct : on décide de sommer beaucoup plus vite les termes pairs que les impairs

V_N = \sum_{p=1}^{2N} \frac1{2p} - \sum_{p=0}^{N-1} \frac1{2p+1} =\sum_{p=1}^{2N} \frac1{2p} +\sum_{p=1}^N \frac1{2p} - \sum_{p=1}^{2N} \frac1{p} =\frac12 \ln 2 +o(1)

Lorsque N tend vers l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.), UN et VN n'ont pas la même limite, alors que ces limites sont obtenues en sommant une et une seule fois chacun des termes de la suite ! Pour une telle suite l'ordre dans lequel on procède pour effectuer la sommation change le résultat. Pour une étude plus complète de cette situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un espace par rapport à son environnement proche ou non....) voir l'article Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à distinguer...) de Riemann pour les séries semi-convergentes.

On souhaite introduire une définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) de la somme qui exclue ce genre de situation, et qui assure que la sommation donne le même résultat quel que soit l'ordre choisi.

Définition d'une famille sommable (La notion de famille sommable vise à étendre les calculs de sommes au cas d'un nombre infini de termes. Contrairement à la notion de série, on ne suppose pas que les termes...) de réels ou complexes

On ne sait a priori définir que la somme d'un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) fini de nombres réels ou complexes. On se donne un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise...) I \, et une famille (u_i)_{i \in I } \, de nombres réels. On dit que la famille (u_i)_{i \in I} \, est sommable s'il existe un réel A \, tel que:

\forall \varepsilon > 0, \exists J_{0} \subset I, \, J_{0} \, \mathrm{ fini } , \, \forall J \subset I, \, J \, \mathrm{ fini }, \, J_{0} \subset J \Rightarrow | \sum_{i \in J}u_i - A | \leq \varepsilon

Le réel A est unique et est appelé somme de la famille u_i \,. On le note en général \sum_{i \in I}u_{i}.

Bien sûr si l'ensemble I lui-même est fini, la famille est automatiquement sommable, sa somme ayant la valeur accoutumée. De même si la famille admet seulement un nombre fini de valeurs non nulles (famille presque nulle), elle est sommable et on retrouve la valeur usuelle de la somme.

La sommabilité possède des propriétés de linéarité. La somme de deux familles sommables est encore une famille sommable, et les sommes s'ajoutent. Le produit d'une famille sommable par un réel λ est une famille sommable, et la somme est multipliée par λ.

Remarque

Cette écriture ressemble à une sorte de passage à la limite sur des ensembles finis de plus en plus gros. De fait, on peut effectivement dire qu'il s'agit d'une limite selon une base de filtre (Un filtre est un système servant à séparer des éléments dans un flux.).

Cas des réels positifs

Dans le cas où les (u_{i})_{i \in I} \, sont des réels positifs, on a une caractérisation assez commode de la sommabilité, provenant de ce que, pour les ensembes finis, la valeur de la somme est croissante pour l'inclusion.

Ainsi la famille est sommable si et seulement si l'ensemble

E = \{ \sum_{i \in J}u_{i} , \, J \subset I, \, J \, \mathrm{ fini } \, \}

est majoré. La somme de la famille (u_{i})_{i \in I} \, est alors la borne supérieure dans \R \, de l'ensemble E \,.

On peut alors utiliser des résultats de comparaison : si deux familles de réels positifs (u_{i})_{i \in I},\,  (v_{i})_{i \in I} \,admettent le même ensemble d'indexation et vérifient pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) i, u_i\leq v_i et si la famille des vi est sommable, celle des ui aussi.

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