Circuits magnétiquement couplés
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Des circuits magnétiquements couplés sont des circuits électriques bobinés autour d'un même circuit magnétique. Par exemple deux enroulement d'un transformateur ou d'une machine électrique. On abrège souvent l'expression en Circuits couplés

Paramètres d'un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude...) de deux circuits magnétiquement couplés (Des circuits magnétiquements couplés sont des circuits électriques bobinés autour d'un même circuit magnétique. Par exemple deux enroulement d'un...)

Équations et schémas

On représente en général deux bobines magnétiquement couplées à l'aide du montage suivant :

Image:Circuits_couplés_1.png

avec L_1 \, et L_2 \, les inductances propres de chacune des bobines et M \, : l'inductance (L'inductance d’un circuit électrique est un coefficient qui traduit le fait qu’un courant le traversant crée un champ magnétique à...) mutuelle.

Cette modélisation occulte totalement les non-linéarités, mais elle permet de faire une étude analytique approchée (et souvent suffisante) de nombreux dispositifs de l'électrotechnique (Étymologiquement l'électrotechnique désigne l'étude des applications techniques de l'électricité. En réalité, l'électrotechnique regroupe les disciplines traitant l'électricité en tant qu'énergie. On peut citer la production,...), tel que les machines électriques et les transformateurs. Les résistances des bobines ne sont pas non plus représentées, car elles ne modifient pas les démonstrations ci dessous.

Pour des raisons pratiques et/ou historiques, c'est le montage ci-dessous qui est utilisé :

Image:Circuits_couplés_2.png

Ce deuxième montage ne fait plus apparaître l'inductance mutuelle et il comporte 4 paramètres au lieu de 3. Conventionnellement le circuit d'indice 1 est appellé circuit primaire et celui d'indice 2 circuit secondaire, en référence aux tranformateurs.

  • l_1 \, et l_2 \, sont appelées inductances de fuite primaire et secondaire
  • L_{\mu} \, est l'inductance de magnétisation ramenée au primaire.
  • a \, est le rapport de tranformation du transformateur idéal introduit dans cette modélisation.

Nous verrons ci-dessous que l'un de ces paramètres est toujours choisi arbitrairement.

Une analyse mathématique des deux montages permet de montrer qu'ils sont totalement équivalents si les relations suivantes sont vérifiées :

L_{\mu} = \frac{M}{a} \,
l_1 = L_1 - \frac{M}{a} \,
l_2 = L_2 - a M  \,

Modèles usuels des circuits couplés

Modèle à fuites totalisées au primaire

Image:Modèle_à_fuites_primaires.png

Dans ce modèle on affirme que les fuites magnétiques n'existent pas pour l'enroulement (Un enroulement en électrotechnique est un conducteur électrique isolé bobiné (enroulé autour d'un support). Cet enroulement peut n'être constitué que d'une seule spire (tour du support), comme aussi bien de milliers de spires.) secondaire. Le paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) choisi est :

l_2 = 0 = L_2 - a M  \,

Ceci a pour conséquence que les paramètres de ce modèle sont liés avec les inductances par les relations :

K_p = a = \frac{L_2}{ M} \,
L_p =L_{\mu} = \frac{M^2}{L_2} \,
L_{fp} = L_1 - L_{\mu} =L_1- \frac{M^2}{L_2} = \sigma L_1\,

avec : \sigma = 1- \frac{M^2}{L_1L_2} \, : coefficient de fuite ou coefficient de Blondel.

Ce modèle est particulièrement intéressant lorsqu'on s'intéresse aux effets de s inductances de fuite du circuit couplé sur l'alimentation du montage. Par exemple pour le dimensionnement du transformateur dans les alimentations à découpage de type fly-back.

Modèle à fuites totalisées au secondaire

Image:Modèle_à_fuites_secondaires.png

Dans ce modèle on affirme que les fuites magnétiques n'existent pas pour l'enroulement primaire. Le paramètre choisi est :

l_1 = 0 = L_1 - \frac{M}{a} \,

Ceci a pour conséquence que les paramètres de ce modèle sont liés avec les inductances par les relations :

K_s = a = \frac{M}{ L_1} \,
L_{\mu} = L_1 \,
l_{fs} =L_2- \frac{M^2}{L_1} = \sigma L_2\,

Pour des raisons de commodité, il est fréquent de ramener l'impédance (Le terme Impédance est utilisé dans plusieurs domaines:) de fuite du coté primaire :

Image:Modèle_à_fuites_secondaires_2.png

Avec :N_s \, : impédance ramenée au primaire de l'inductance de fuite secondaire l_{fs} \,. Cette impédance ramenée ne doit pâs être confondue avec l'impédance de fuite primaire du précédent modèle.

N_s = \frac{l_{fs}}{K_s^2} = L_1 \cdot (\frac{L_1L_2}{M^2} - 1)= L_1 \cdot \frac{\sigma}{1-\sigma}

Ce modèle est très pratique pour calculer l'influence du circuit magnétique (Un circuit magnétique est un circuit généralement réalisé en matériau ferromagnétique au travers duquel circule un flux de champ magnétique) sur l'alimentation électrique (Le terme d'alimentation électrique désigne un ensemble de systèmes capables de fournir de l'électricité aux appareils fonctionnant avec cette énergie.) quand celle-ci alimente le primaire. On l'utilise par exemple pour modéliser la machine asynchrone (La machine asynchrone, connue également sous le terme « anglo-saxon » de machine à induction , est une machine à courant alternatif sans connexion...)

Modèle à fuites séparées

Ce modèle est couramment utilisé pour les transformateurs.

On pose a = m = \frac{n_2}{n_1} \, égal au rapport du nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de spires de la bobine 2 par le nombre de spires de la bobine 1.

Image:Modèle_à_fuites_séparées.png

On obtient :

L_{\mu} = \frac{M}{m} \,
l_1 = L_1 - \frac{M}{m} \,
l_2 = L_2 - m M  \,

On peut également ramener l'inductance de magnétisation au secondaire et obtenir le modèle équivalent suivant :

Image:Modèle_à_fuites_séparées_2.png

avec  :L_{2\mu} = \frac{L_{1\mu}}{m^2} \,

Modèle en T

On pose a = 1 \, ce qui revient à faire disparaître le tranformateur du modèle :

Image:Modèle_en_T.png

Attention ! : Ce modèle fonctionne parfaitement d'un point (Graphie) de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) mathématique mais il est parfois illusoire de vouloir trouver un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie...) physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens...) aux trois dipôles qui le constitue.

Par exemple les valeurs de L_1 -M \, ou de L_2 -M \, peuvent être négatives, ce qui revient à dire, en régime sinusoïdal de courant, que l'inductance se comporte comme un condensateur !

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